本文主要是介绍POJ1006同余方程基础,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
题目链接:http://poj.org/problem?id=1006问题描述
人自出生起就有体力,情感和智力三个生理周期,分别为23,28和33天。一个周期内有一天为峰值,在这一天,人在对应的方面(体力,情感或智力)表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期,分别对应于体力,情感,智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期,要求从这一天开始,算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。
问题分析
首先我们要知道,任意两个峰值之间一定相距整数倍的周期。假设一年的第N天达到峰值,则下次达到峰值的时间为N+Tk(T是周期,k是任意正整数)。所以,三个峰值同时出现的那一天(S)应满足
S = N1 + T1*k1 = N2 + T2*k2 = N3 + T3*k3
N1,N2,N3分别为为体力,情感,智力出现峰值的日期, T1,T2,T3分别为体力,情感,智力周期。 我们需要求出k1,k2,k3三个非负整数使上面的等式成立。
想直接求出k1,k2,k3貌似很难,但是我们的目的是求出S, 可以考虑从结果逆推。根据上面的等式,S满足三个要求:除以T1余数为N1,除以T2余数为N2,除以T3余数为N3。这样我们就把问题转化为求一个最小数,该数除以T1余N1,除以T2余N2,除以T3余N3。这就是著名的中国剩余定理,我们的老祖宗在几千年前已经对这个问题想出了一个精妙的解法。依据此解法的算法,时间复杂度可达到O(1)。下面就介绍一下中国剩余定理。
中国剩余定理介绍
在《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),七七数之剩二(除以7余2),问物几何?”这个问题称为“孙子问题”,该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。具体解法分三步:
- 找出三个数:从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15,从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21,最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
- 用15乘以2(2为最终结果除以7的余数),用21乘以3(3为最终结果除以5的余数),同理,用70乘以2(2为最终结果除以3的余数),然后把三个乘积相加(15*2+21*3+70*2)得到和233。
- 用233除以3,5,7三个数的最小公倍数105,得到余数23,即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。
就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的,有什么基本的数学依据吗?
中国剩余定理分析
我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题,从零开始,试图揣测古人是如何推导出这个解法的。
首先,我们假设n1是满足除以3余2的一个数,比如2,5,8等等,也就是满足3*k+2(k>=0)的一个任意数。同样,我们假设n2是满足除以5余3的一个数,n3是满足除以7余2的一个数。
有了前面的假设,我们先从n1这个角度出发,已知n1满足除以3余2,能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2?进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2?
这就牵涉到一个最基本数学定理,如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数),换句话说,如果一个除法运算的余数为c,那么被除数与k倍的除数相加(或相减)的和(差)再与除数相除,余数不变。这个是很好证明的。
以此定理为依据,如果n2是3的倍数,n1+n2就依然满足除以3余2。同理,如果n3也是3的倍数,那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的,再从n2,n3的角度出发,我们可推导出以下三点:
- 为使n1+n2+n3的和满足除以3余2,n2和n3必须是3的倍数。
- 为使n1+n2+n3的和满足除以5余3,n1和n3必须是5的倍数。
- 为使n1+n2+n3的和满足除以7余2,n1和n2必须是7的倍数。
因此,为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解,需满足:
- n1除以3余2,且是5和7的公倍数。
- n2除以5余3,且是3和7的公倍数。
- n3除以7余2,且是3和5的公倍数。
所以,孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1,从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2,从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3,再将三个数相加得到解。在求n1,n2,n3时又用了一个小技巧,以n1为例,并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数,而是先找一个除以3余1的数,再乘以2。
这里又有一个数学公式,如果a%b=c,那么(a*k)%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc(k>0),也就是说,如果一个除法的余数为c,那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。展开式中已证明。
最后,我们还要清楚一点,n1+n2+n3只是问题的一个解,并不是最小的解。如何得到最小解?我们只需要从中最大限度的减掉掉3,5,7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以(n1+n2+n3)%105就是最终的最小解。
总结
经过分析发现,中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧,就是以下两个基本数学定理的灵活运用:
- 如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。
- 如果 a%b=c,那么 (a*k)%b=kc (k为大于零的整数)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#define rt return
#define bk break
#define ct continue
#define sf scanf
#define pf printf
#define ms memset
#define si(n) sf("%d",&n)
#define pi(n) pf("%d\n",n)
#define REP0(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define REP1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
#define REP(i,s,n) for(int i=s;i<=(n);i++)
#define db double
#define op operator
#define pb push_back
#define LL long long
#define INF 0x3fffffff
#define eps 1e-8
#define PI acos(-1)
#define maxn 1010
using namespace std;
int t1=23,t2=28,t3=33;
int r1,r2,r3,minval;//周期以及最小达到的数
int gcd(int a,int b){if(b==0)rt a;rt gcd(b,a%b);
}
void init(){int k;k=r1=t2*t3/gcd(t2,t3);while(r1%t1!=1)r1+=k;k=r2=t1*t3/gcd(t1,t3);while(r2%t2!=1)r2+=k;minval=k=r3=t1*t2/gcd(t1,t2);while(r3%t3!=1)r3+=k;minval=(minval*t3)/gcd(minval,t3);
}
int main(){init();int n1,n2,n3,n;int CASE=1;while(~sf("%d%d%d%d",&n1,&n2,&n3,&n),n1!=-1){int ans=(r1*(n1%t1)+r2*(n2%t2)+r3*(n3%t3))%minval;if(ans<=n)ans+=minval;pf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",CASE++,ans-n);}rt 0;
}
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