POJ 3264 RMQ--ST 算法

2024-08-30 20:58
文章标签 算法 poj st rmq 3264

本文主要是介绍POJ 3264 RMQ--ST 算法,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

Balanced Lineup
Time Limit: 5000MS Memory Limit: 65536KB 64bit IO Format: %I64d & %I64u

Submit Status

Description

For the daily milking, Farmer John’s N cows (1 ≤ N ≤ 50,000) always line up in the same order. One day Farmer John decides to organize a game of Ultimate Frisbee with some of the cows. To keep things simple, he will take a contiguous range of cows from the milking lineup to play the game. However, for all the cows to have fun they should not differ too much in height.

Farmer John has made a list of Q (1 ≤ Q ≤ 200,000) potential groups of cows and their heights (1 ≤ height ≤ 1,000,000). For each group, he wants your help to determine the difference in height between the shortest and the tallest cow in the group.

Input
Line 1: Two space-separated integers, N and Q.
Lines 2.. N+1: Line i+1 contains a single integer that is the height of cow i
Lines N+2.. N+ Q+1: Two integers A and B (1 ≤ A ≤ B ≤ N), representing the range of cows from A to B inclusive.

Output
Lines 1.. Q: Each line contains a single integer that is a response to a reply and indicates the difference in height between the tallest and shortest cow in the range.

Sample Input

6 3
1
7
3
4
2
5
1 5
4 6
2 2

Sample Output

6
3
0

Source
USACO 2007 January Silver

转自 : http://www.cnblogs.com/Missa/archive/2012/10/01/2709686.html

  1. 概述

RMQ(Range Minimum/Maximum Query),即区间最值查询,是指这样一个问题:对于长度为n的数列A,回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回数列A中下标在i,j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题,下面介绍一下解决这两种问题的比较高效的算法。当然,该问题也可以用线段树(也叫区间树)解决,算法复杂度为:O(N)~O(logN),这里我们暂不介绍。

2.RMQ算法

对于该问题,最容易想到的解决方案是遍历,复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时,该算法无法在有效的时间内查询出正解。

本节介绍了一种比较高效的在线算法(ST算法)解决这个问题。所谓在线算法,是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理,待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST(Sparse Table)算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法,它可以在O(nlogn)时间内进行预处理,然后在O(1)时间内回答每个查询。

(一)首先是预处理,用动态规划(DP)解决。

设A[i]是要求区间最值的数列,F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。(DP的状态)

例如:

A数列为:3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1,2]=max(3,2,4,5) = 5,F[1,3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。(DP的初始值)

这样,DP的状态、初值都已经有了,剩下的就是状态转移方程。

我们把F[i,j]平均分成两段(因为f[i,j]一定是偶数个数字),从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段,i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i,j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max(F[i,j-1], F[i + 2^(j-1),j-1])。

代码如下:

    void RMQ(int num) //预处理->O(nlogn)  {  for(int j = 1; j < 20; ++j)  for(int i = 1; i <= num; ++i)  if(i + (1 << j) - 1 <= num)  {  maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);  minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);  }  }  

这里我们需要注意的是循环的顺序,我们发现外层是j,内层所i,这是为什么呢?可以是i在外,j在内吗?

答案是不可以。因为我们需要理解这个状态转移方程的意义。

状态转移方程的含义是:先更新所有长度为F[i,0]即1个元素,然后通过2个1个元素的最值,获得所有长度为F[i,1]即2个元素的最值,然后再通过2个2个元素的最值,获得所有长度为F[i,2]即4个元素的最值,以此类推更新所有长度的最值。

而如果是i在外,j在内的话,我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新从1开始1个元素,2个元素,4个元素,8个元素(A[0],A[1],….A[7])的最值,这里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值,但是我们根本没有计算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7]),所以这样的方法肯定是错误的。

为了避免这样的错误,一定要好好理解这个状态转移方程所代表的含义。

(二)然后是查询。

假如我们需要查询的区间为(i,j),那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i,右边界取j)的最小幂(可以重复,比如查询5,6,7,8,9,我们可以查询5678和6789)。

因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1),则有:RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明,要求区间[2,8]的最大值,k = log2(8 - 2 + 1)= 2,即求max(F[2, 2],F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2],F[5, 2]);

这个是直接保存最大最下的值


#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<string>
#include<fstream>
#define pb(s) push_back(s)
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define bug printf("===\n");
using namespace std;
typedef vector<int> VI;
#define rep(a,b) for(int i=a;i<b;i++)
#define rep_(a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define P pair<int,int>
#define bug printf("===\n");
#define PL(x) push_back(x)
const int maxn=50010;
const int inf=999999;
typedef long long LL;int ma[maxn][20],mi[maxn][20];void init_rmq(int num){//初始化STfor(int j=1;j<20;j++){for(int i=1;i+(1<<j)-1<=num;i++){ma[i][j]=max(ma[i][j-1],ma[i+(1<<(j-1))][j-1]);mi[i][j]=min(mi[i][j-1],mi[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}
}int query(int l,int r){//查询最大值,和最小值int k=(int)(log(r-l+1)/log(2.0));int a=max(ma[l][k],ma[r-(1<<k)+1][k]);int b=min(mi[l][k],mi[r-(1<<k)+1][k]);return a-b;
}int main(){int n,m;while(~scanf("%d%d",&n,&m)){for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&ma[i][0]);//读入的同时做初始化mi[i][0]=ma[i][0];}init_rmq(n);while(m--){int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);printf("%d\n",query(l,r));}}return 0;
}

> 结合:http://blog.csdn.net/shahdza/article/details/7689338
> 写了一种保存的是最大最小值的下标。
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a));
#define LL long long
#define P pair<int,int>
#define X first
#define Y second
#define pb push_back
using namespace std;
const int maxn=500005;
const int inf=9999999;
const int mod=100007;
int a[maxn];
int mx[maxn][20];
int mi[maxn][20];
void init_rmq(int n){for(int i=0;i<n;i++){//初始化长度为0 的边界,mx[i][0]=i;mi[i][0]=i;}for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){///从1开始for(int i=0;i+(1<<j)-1<n;i++){if(a[mx[i][j-1]]>a[mx[i+(1<<(j-1))][j-1]]){mx[i][j]=mx[i][j-1];}else {mx[i][j]=mx[i+(1<<(j-1))][j-1];}if(a[mi[i][j-1]]<a[mi[i+(1<<(j-1))][j-1]]){mi[i][j]=mi[i][j-1];}else {mi[i][j]=mi[i+(1<<(j-1))][j-1];}}}
}
int query(int l,int r){l--;r--;int k=int(log(r-l+1)/log(2.0));int x=max(a[mx[l][k]],a[mx[r-(1<<k)+1][k]]);//查询,注意int y=min(a[mi[l][k]],a[mi[r-(1<<k)+1][k]]);return x-y;
}
int main(){int n,m;while(~scanf("%d%d",&n,&m)){for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&a[i]);}init_rmq(n);while(m--){int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);printf("%d\n",query(l,r));}}return 0;
}

这篇关于POJ 3264 RMQ--ST 算法的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1121909

相关文章

SpringBoot实现MD5加盐算法的示例代码

《SpringBoot实现MD5加盐算法的示例代码》加盐算法是一种用于增强密码安全性的技术,本文主要介绍了SpringBoot实现MD5加盐算法的示例代码,文中通过示例代码介绍的非常详细,对大家的学习... 目录一、什么是加盐算法二、如何实现加盐算法2.1 加盐算法代码实现2.2 注册页面中进行密码加盐2.

Java时间轮调度算法的代码实现

《Java时间轮调度算法的代码实现》时间轮是一种高效的定时调度算法,主要用于管理延时任务或周期性任务,它通过一个环形数组(时间轮)和指针来实现,将大量定时任务分摊到固定的时间槽中,极大地降低了时间复杂... 目录1、简述2、时间轮的原理3. 时间轮的实现步骤3.1 定义时间槽3.2 定义时间轮3.3 使用时

如何通过Golang的container/list实现LRU缓存算法

《如何通过Golang的container/list实现LRU缓存算法》文章介绍了Go语言中container/list包实现的双向链表,并探讨了如何使用链表实现LRU缓存,LRU缓存通过维护一个双向... 目录力扣:146. LRU 缓存主要结构 List 和 Element常用方法1. 初始化链表2.

golang字符串匹配算法解读

《golang字符串匹配算法解读》文章介绍了字符串匹配算法的原理,特别是Knuth-Morris-Pratt(KMP)算法,该算法通过构建模式串的前缀表来减少匹配时的不必要的字符比较,从而提高效率,在... 目录简介KMP实现代码总结简介字符串匹配算法主要用于在一个较长的文本串中查找一个较短的字符串(称为

通俗易懂的Java常见限流算法具体实现

《通俗易懂的Java常见限流算法具体实现》:本文主要介绍Java常见限流算法具体实现的相关资料,包括漏桶算法、令牌桶算法、Nginx限流和Redis+Lua限流的实现原理和具体步骤,并比较了它们的... 目录一、漏桶算法1.漏桶算法的思想和原理2.具体实现二、令牌桶算法1.令牌桶算法流程:2.具体实现2.1

Python中的随机森林算法与实战

《Python中的随机森林算法与实战》本文详细介绍了随机森林算法,包括其原理、实现步骤、分类和回归案例,并讨论了其优点和缺点,通过面向对象编程实现了一个简单的随机森林模型,并应用于鸢尾花分类和波士顿房... 目录1、随机森林算法概述2、随机森林的原理3、实现步骤4、分类案例:使用随机森林预测鸢尾花品种4.1

python中os.stat().st_size、os.path.getsize()获取文件大小

《python中os.stat().st_size、os.path.getsize()获取文件大小》本文介绍了使用os.stat()和os.path.getsize()函数获取文件大小,文中通过示例代... 目录一、os.stat().st_size二、os.path.getsize()三、函数封装一、os

不懂推荐算法也能设计推荐系统

本文以商业化应用推荐为例,告诉我们不懂推荐算法的产品,也能从产品侧出发, 设计出一款不错的推荐系统。 相信很多新手产品,看到算法二字,多是懵圈的。 什么排序算法、最短路径等都是相对传统的算法(注:传统是指科班出身的产品都会接触过)。但对于推荐算法,多数产品对着网上搜到的资源,都会无从下手。特别当某些推荐算法 和 “AI”扯上关系后,更是加大了理解的难度。 但,不了解推荐算法,就无法做推荐系

康拓展开(hash算法中会用到)

康拓展开是一个全排列到一个自然数的双射(也就是某个全排列与某个自然数一一对应) 公式: X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! 其中,a[i]为整数,并且0<=a[i]<i,1<=i<=n。(a[i]在不同应用中的含义不同); 典型应用: 计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序,也就是说求当前排列是第

csu 1446 Problem J Modified LCS (扩展欧几里得算法的简单应用)

这是一道扩展欧几里得算法的简单应用题,这题是在湖南多校训练赛中队友ac的一道题,在比赛之后请教了队友,然后自己把它a掉 这也是自己独自做扩展欧几里得算法的题目 题意:把题意转变下就变成了:求d1*x - d2*y = f2 - f1的解,很明显用exgcd来解 下面介绍一下exgcd的一些知识点:求ax + by = c的解 一、首先求ax + by = gcd(a,b)的解 这个