Python和C++(CUDA)及Arduino雅可比矩阵导图

本文主要是介绍Python和C++(CUDA)及Arduino雅可比矩阵导图，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

🎯要点

对比三种方式计算
读取二维和三维三角形四边形和六面体网格
运动学奇异点处理
医学图像成像组学分析
特征敏感度增强
机械臂路径规划和手臂空间操作变换
苹果手机物理稳定性中间轴定理

Python雅可比矩阵

多变量向量值函数的雅可比矩阵推广了多变量标量值函数的梯度，而这又推广了单变量标量值函数的导数。换句话说，多变量标量值函数的雅可比矩阵是其梯度（的转置），而单变量标量值函数的梯度是其导数。

在函数可微的每个点，其雅可比矩阵也可以被认为是描述函数在该点附近局部施加的“拉伸”、“旋转”或“变换”量。例如，如果使用 $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)= f (x, y)$ 平滑变换图像，则雅可比矩阵 $J _{ f }( x, y)$ ，描述了 $(x, y)$ 邻域中的图像如何变换。如果函数在某点可微，其微分在坐标系中由雅可比矩阵给出。然而，函数不需要可微才能定义其雅可比矩阵，因为只需要存在其一阶偏导数。

考虑以下向量函数，该函数将 $n$ 维向量 $\in R ^n$ 作为输入，并将该向量映射到 $m$ 维向量：
$)=\left[\begin{array}{c} f_1\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \\ f_2\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \\ \vdots \\ f_m\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \end{array}\right]$

其中向量 $x$ 定义为
$=\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right]$
非线性向量函数 $f$ 产生 $m$ 维向量
$\left[\begin{array}{c} f_1\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \\ f_2\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \\ \vdots \\ f_m\left(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\right) \end{array}\right]$
其条目是 $m$ 函数 $f_i, i=1,2, \ldots, n$ ，将向量 $x$ 的条目映射为标量数。

函数 $(\cdot)$ 的雅可比矩阵是 $m$ × $n$ 维偏导数矩阵，定义为
$\frac{\partial f }{\partial x }=\left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{array}\right]$
该矩阵的第一行由 $f_1(\cdot)$ 分别相对于 $x_1、x_2、\ldots、x_n$ 的偏导数组成。类似地，该矩阵的第二行由 $f_2(\cdot)$ 分别相对于 $x_1、x_2、\ldots、x_n$ 的偏导数组成。以同样的方式，我们构造雅可比矩阵的其他行。

在这里，我们展示了用于符号计算雅可比矩阵和创建 Python 函数的 Python 脚本，该函数将返回给定输入向量 $x$ 的雅可比矩阵的数值。为了验证 Python 实现，让我们考虑以下测试用例函数
$=\left[\begin{array}{c} x_1 x_2 \\ \sin \left(x_1\right) \\ \cos \left(x_3\right) \\ x_3 e^{x_4} \end{array}\right]$
其中 $x$ 是
$=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right]$
且
$\begin{aligned} & f_1\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=x_1 x_2 \\ & f_2\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\sin \left(x_1\right) \\ & f_3\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\cos \left(x_3\right) \\ & f_4\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=x_3 e^{x_4} \end{aligned}$
该函数的雅可比行列式是
$\frac{\partial f }{\partial x }=\left[\begin{array}{llll} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_1}{\partial x_3} & \frac{\partial f_1}{\partial x_4} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_3} & \frac{\partial f_2}{\partial x_4} \\ \frac{\partial f_3}{\partial x_1} & \frac{\partial f_3}{\partial x_2} & \frac{\partial f_3}{\partial x_3} & \frac{\partial f_3}{\partial x_4} \\ \frac{\partial f_4}{\partial x_1} & \frac{\partial f_4}{\partial x_2} & \frac{\partial f_4}{\partial x_3} & \frac{\partial f_4}{\partial x_4} \end{array}\right]$
通过计算这些偏导数，我们得到
$\frac{\partial f }{\partial x }=\left[\begin{array}{cccc} x_2 & x_1 & 0 & 0 \\ \cos \left(x_1\right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\sin \left(x_3\right) & 0 \\ 0 & 0 & e^{x_4} & x_3 e^{x_4} \end{array}\right]$

import numpy as np
from sympy import *init_printing()x=MatrixSymbol('x',4,1)
f=Matrix([[x[0]*x[1]],[sin(x[0])],[cos(x[2])],[x[2]*E**(x[3])]])JacobianSymbolic=f.jacobian(x)
JacobianFunction=lambdify(x,JacobianSymbolic)
testCaseVector=np.array([[1],[1],[1],[1]])
JacobianNumerical=JacobianFunction(testCaseVector)

定义符号向量“x”如下

x=MatrixSymbol('x',4,1)

非线性向量函数“f”定义为

=Matrix([[x[0]*x[1]],[sin(x[0])],[cos(x[2])],[x[2]*E**(x[3])]])

JacobianSymbolic=f.jacobian(x)
JacobianFunction=lambdify(x,JacobianSymbolic)

测试向量处评估雅可比行列式。

testCaseVector=np.array([[1],[1],[1],[1]])
JacobianNumerical=JacobianFunction(testCaseVector)

存储在“JacobianNumerical”中的结果是一个 NumPy 数值数组（矩阵），可用于进一步计算。

示例：TensorFlow雅可比矩阵

%tensorflow_version 1.x
from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense
from keras.optimizers import SGD
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from sklearn.metrics import mean_squared_error
import matplotlib.pyplot as plt
from tqdm import tqdm
import tensorflow as tfnp.random.seed (245)
nobs =10000x1= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)
x2= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)
x3= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)
x4= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)
x5= np.random.normal(size=nobs ,scale=1)X= np.c_[np.ones((nobs ,1)),x1,x2,x3,x4,x5]y= np.cos(x1) + np.sin(x2) + 2*x3 + x4 + 0.01*x5 + np.random.normal(size=nobs , scale=0.01)LR=0.05Neuron_Out=1
Neuron_Hidden1=64
Neuron_Hidden2=32Activate_output='linear'
Activate_hidden='relu' Optimizer= SGD(lr=LR)
loss='mean_squared_error'from sklearn.model_selection import train_test_split
x_train , x_test , y_train , y_test = train_test_split(X, y, test_size =0.15, random_state =77)from tensorflow import set_random_seed
set_random_seed (245)sess = tf.InteractiveSession()
sess.run(tf.initialize_all_variables())model_ANN= Sequential()model_ANN.add(Dense(Neuron_Hidden1, activation=Activate_hidden, input_shape=(6,), use_bias=True))
model_ANN.add(Dense(Neuron_Hidden2, activation=Activate_hidden, use_bias=True))model_ANN.add(Dense(Neuron_Out, activation=Activate_output,use_bias=True))
model_ANN.summary()model_ANN.compile(loss=loss, optimizer=Optimizer, metrics=['accuracy'])history_ANN=model_ANN.fit(
x_train, 
y_train, 
epochs=125)def jacobian_tensorflow(x):jacobian_matrix = []for m in range(Neuron_Out):grad_func = tf.gradients(model_ANN.output[:, m],model_ANN.input)gradients = sess.run(grad_func, feed_dict={model_ANN.input: x})  jacobian_matrix.append(gradients[0][0,:])return np.array(jacobian_matrix)jacobian_tensorflow(x_train)