本文主要是介绍从欧拉公式的美到旋转位置编码RoPE,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
也许你在某些场合听说过欧拉公式,也许你干脆对数学不感冒。机缘巧合下,你点开了这篇文章,大致浏览了下然后关闭,继续为自己的工作学习忙碌。这不妨碍你暂停忙碌的脚步,欣赏她的美。
若干年后,你应该不曾记得看过这篇文章,但你会记得数学界有一个很美的公式。
1. 欧拉公式和欧拉恒等式
欧拉公式(Euler’s formula)是复分析领域的公式,它将三角函数与复指数函数关联起来,因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。欧拉公式提出,对任意实数 x,都存在:
e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) eix=cos(x)+isin(x)
其中 e是自然对数的底数,i是虚数单位,而 cos和 sin则是余弦、正弦对应的三角函数,参数 x则以弧度为单位。
这是一个非常美丽的公式,它将三角函数,指数函数,复数联系在了一起,是数学中的一颗明珠。
欧拉恒等式(Euler’s identity)是欧拉公式的一个特例,当 x = π 时,欧拉公式变为:
e i π + 1 = 0 e^{i\pi} + 1 = 0 eiπ+1=0
这个公式被认为是数学中最美丽的公式之一,它将五个最重要的数学常数联系在了一起:0、1、e、i和π。
非常感谢苏剑林大神将这么漂亮公式引入到了位置编码的设计中,大家可以关注他的博客《科学空间》https://kexue.fm/, 可以学到很多东西。
2. 预备知识
为了看懂RoPE,我们需要了解一些预备知识,包括:
1)欧拉公式
2)复数/复平面
3)三角函数的几个公式
重要!!! 在你深入大量公式之前,先要了解:
- 复平面和欧拉公式的引入,只是为了简化计算过程;
- 欧拉公式经常在数学、物理和工程领域被如此广泛应用;
- 整个证明过程,先考虑词向量为二维,再利用矩阵的特性轻松拓展到多维;
- 在证明二维场景的时候,引入复平面,原因是可以这样可以使用欧拉公式获取漂亮的数学特性,来简化过程。
3. 旋转位置编码RoPE
Rotation Position Encoding
RoPE提出为了能利用上 token 之间的相对位置信息,假定 query 向量 q m q_m qm 和 key 向量 k n k_n kn之间的内积操作可以被一个函数 g g g表示,该函数 g g g的输入是词嵌入向量 x m x_m xm, x n x_n xn 和它们之间的相对位置 m − n m-n m−n:
大胆假设,小心求证。 现在我们的目标就是找到一个合适的函数 g g g,使得 g ( x m , x n , m − n ) g(x_m, x_n, m-n) g(xm,xn,m−n)能够捕捉到词向量之间的相对位置信息。
RoPE提出,在词向量是二维的情况下,将平面转化为复平面,如果我们按照如下的方式定义函数 f f f,则可以找到对应的 g g g
R e Re Re指的是复数的实数部分,更近一步,我们可以将函数 f f f定义为:
这边,不就是原来的query矩阵乘上了一个旋转矩阵吗?也就是说,加上 m m m这个位置信息后,如果使用RoPE的设计方案,就相当于将原query矩阵进行了旋转。这就是旋转的由来。
同理, f K f_K fK可以表示为:
那么,对应的 g g g函数就是:
4. 从二维到多维
在二维场景下,我们引入了复平面,是为了使用欧拉公式获取漂亮的数学特性,来简化过程。但是在多维场景下,我们可以直接使用矩阵的特性,来简化过程。将2维的RoPE推广到多维的RoPE,只需要将2维的RoPE的旋转矩阵 R R R替换为多维的旋转矩阵 R R R即可。
因为内积满足线性叠加性质,所以任意偶数维的RoPE都可以表示为二维情形拼接而成的形式。
即是在原来的 q ∗ k q*k q∗k矩阵的基础上,加上了一个旋转矩阵 R θ , m d R^d_{\theta,m} Rθ,md,这就是RoPE的设计思路。
在原始paper中,有一个直观的图
5.RoPE的证明
注意,现在的证明是建立在二维的基础上,二维可以用上一节的矩阵特性推广到多维。
二维的情况下,形式上我们将其转化为复平面。
按照RoPE的设计,编码后的 q , v q,v q,v和内积 < q , v > <q,v> <q,v>的形式是:
为什么上述公式满足:
首先,我们看到欧拉公式
e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) eix=cos(x)+isin(x)
则有:
我们看query矩阵,可以看到:
其中 W q W_q Wq是二维矩阵, x m x_m xm是二维向量,其乘积是一个二维向量,这边我们用 q m q_m qm表示。 q m ( 1 ) q^{(1)}_m qm(1), q m ( 2 ) q^{(2)}_m qm(2)分别表示第一维和第二维。
我们这时,需要将 q m q_m qm转化为复数形式,即将这个二维平面放到复平面上,复平面的实部是第一维(x轴),虚部是第二维(y轴)。
这时,我们可以将 f q ( x m , m ) f_q(x_m,m) fq(xm,m)表示为:
这就是两个复数的积(将复数带入)
经过简单的展开:
再重新从复平面回到实数二维平面,我们可以将上述公式表示为:
事实上这就是没有位置信息的query向量乘上了一个旋转矩阵,这就是RoPE的设计思路。
同理,我们可以得到key向量的RoPE形式:
最后,我们可以得到RoPE的内积形式:
总结
RoPE非常巧妙的借助复平面和欧拉公式,将位置信息编码到了query和key向量中,使得模型能够利用上token之间的相对位置信息。RoPE的设计思路是将query和key向量进行旋转,这就是旋转的由来。
参考
[1] 十分钟读懂旋转编码(RoPE)
[2] 让研究人员绞尽脑汁的Transformer位置编码
[3] Transformer升级之路:2、博采众长的旋转式位置编码
[4] Transformer学习笔记一:Positional Encoding(位置编码)
[5] RoFormer: Enhanced Transformer with Rotary Position Embedding
[6] GitHub: LLMForEverybody
这篇关于从欧拉公式的美到旋转位置编码RoPE的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!