本文主要是介绍极限基础:变化率在manim中的实现,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
一,变化率的介绍
这里我们要考虑一个函数,它表示一些量,其变化为x不同。例如,也许f(x)表示x纪要。或者是汽车行驶的距离x小时。在这两个例子中,我们使用了x来表示时间。答案是肯定的x不必表示时间,但它可以生成易于可视化的示例。
我们在这里要做的是确定多快f(x)在某个时候发生变化,比如x=a.这称为瞬时变化率,有时简称为瞬时变化率f(x)在x=a.
与切线问题一样,此时我们能做的就是估计变化率。那么,让我们继续上面的例子并考虑一下f(x)作为随时间变化的事物,以及x是时间测量。再x不一定非得代表时间,但它会让解释变得更容易一些。虽然我们现在无法计算瞬时变化率,但我们可以找到平均变化率。
要计算f(x)在x=a我们需要做的就是选择另一个点,比如x,则平均变化率将为
然后,要估计x=a,我们需要做的就是选择x越来越近x=a,(不要忘记在两侧选择它们x=a).然后我们可以从中估计瞬时变化率。
1.让我们看一个例子。
假设气球中的空气量t小时数由下式给出
估计 5 小时后体积的瞬时变化率。
解题思路:
我们需要做的第一件事是获得交易量平均变化率的公式。在本例中,这是
要估计t=5我们只需要选择 t 越来越近t=5.以下是tt以及这些值的平均变化率
因此,从这个表格中可以看出,平均变化率接近 15,因此我们可以估计此时的瞬时变化率是 15。
接下来我们通过manim实现上面的例子
2.manim实现
from manim import * class RatesofChange11(Scene): def construct(self): # 创建坐标系 axes = Axes( x_range=[3, 7.5, 1], y_range=[6, 25, 3], y_length=6, x_length=10, axis_config={"color": BLUE}, ).add_coordinates() # 定义函数 def func(x): return x**3 - 6*x**2 + 35 # 绘制函数曲线 graph = axes.plot(func, color=RED) graph_label = axes.get_graph_label(graph, label='f(x) = x^3 - 6x^2 + 35') x11 = [6, 5.5, 5.2, 5.01, 5.0001, 4.999, 4.99, 4.9, 4.5, 4] # 添加点和文本 dots = [] text_mobs = [] for x in x11: y = func(x) dot = Dot(axes.c2p(x, y), color=YELLOW) label = Text(f"({x:.1f}, {y:.1f})", font_size=20).next_to(dot, DOWN) dots.append(dot) text_mobs.append(label) self.add(axes) # 绘制函数和标签 self.play(Create(graph), run_time=2) self.play(Write(graph_label)) # 添加点和对应文本 for dot, label in zip(dots, text_mobs): self.play(FadeIn(dot), Write(label), run_time=0.5) self.wait(2) # 画面切换: 创建一个新的场景来显示表格 self.switch_to_table_scene(dots, x11) def switch_to_table_scene(self, dots, x_values): # 计算y值 y_values = [round(self.func(x), 2) for x in x_values] # 计算并保留两位小数 # 创建表格 table = Table( [ [f"x", "f(x)"], *[[f"{x:.2f}", f"{y:.6f}"] for x, y in zip(x_values, y_values)] ], include_outer_lines=True ).scale(0.5) # 表格放在画面中央 table.move_to([3,0,0]) self.clear()# 显示表格 self.play(Create(table)) self.wait(3) def func(self, x): return x**3 - 6*x**2 + 35 # 定义函数
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那么,这告诉我们关于t=5?让我们在上面的答案上放置一些单位。这可能有助于我们了解此时卷发生的情况。假设体积上的单位以 为单位。变化率的单位(平均和瞬时)为 。
我们估计,在t=5体积以 的速度变化。这意味着在t=5体积的变化方式是,如果速率是恒定的,那么一小时后气球中的空气将比 15 厘米3 时多t=5.
然而,我们在这里确实需要小心。实际上,一小时后气球中的空气可能不会增加 15 厘米3。成交量的变化速度通常不是恒定的,因此我们无法真正确定再过一小时后成交量会是多少。我们可以说的是,体积在增加,因为瞬时变化率是正的,如果我们有其他值的变化率tt我们可以比较这些数字,看看其他点的变化率是更快还是更慢。
例如,在t=4瞬时变化率为 ,在t=3瞬时变化率为 。我们将让您检查这些变化率。事实上,这是一个很好的练习,看看你是否可以建立一个值表来支持我们对这些变化率的主张。
无论如何,回到例子。在t=4变化率为零,因此此时交易量根本没有变化。这并不意味着它在未来不会改变。它只是意味着t=4音量没有变化。同样,在t=3体积减小,因为该点的变化率为负。我们也可以说,无论变化率的增加/减少方面如何,气球的体积在t=5t=5比现在的t=3因为 15 大于 9。
补充代码:
from manim import * class RatesofChange(Scene): def construct(self): # 创建坐标系 """def kfunc(x):return 19-6*xgraphk = axes.plot(kfunc, color=YELLOW_A)tangent_point_x = 1 tangent_point_y = func(tangent_point_x) # 计算切线的 y 截距 y_intercept = tangent_point_y - tangent_slope * tangent_point_x # 创建切线 tangent_line = axes.plot(lambda x: tangent_slope * x + y_intercept, color=BLUE_E, x_range=[-3, 3]) ar=Arrow(start=axes.c2p(4,9),end=[2,1,0],buff=0,color=YELLOW)ar2=Arrow(start=[1,-2.5,0],end=axes.c2p(2.7,3),buff=0)# Create a line passing through dot1 and dot2 with long endpoints to simulate infinite lengthline_infinite = Line(dot2,dot1).set_color(RED)# 添加箭头和文本 tangent_text01 = MarkupText("这是条切线。", font_size=24, color=PINK).next_to(ar,UP,buff=0) not_tangent_text = MarkupText("割线", font_size=24).next_to(axes.c2p(1.5,2)) # 切线的斜率 tangent_slope = -4*tangent_point_x# f'(x) = -4x """axes = Axes( x_range=[3, 7.5,1], y_range=[6, 25,3], y_length=6,x_length=10,axis_config={"color": BLUE}, ).add_coordinates() # 定义函数 def func(x): return x**3-6*x**2+35 # 绘制函数曲线 graph = axes.plot(func, color=RED)graph_label = axes.get_graph_label(graph, label='f(x) = x^3 - 6x^2+35')x11=[6,5.5,5.2,5.01,5.0001,4.999,4.99,4.9,4.5,4]f=func(4)print(f)# 切点 # 添加箭头和文本 #tangent_text = Title("Tangent Line at $(1, f(1))$",color=GOLD).shift(RIGHT) dot1=Dot(axes.c2p(1,13))self.add(dot1)td1=Text("P=(1,13)",font_size=20).next_to(dot1,DOWN)dot2=Dot(axes.c2p(2,7))td2=Text("Q=(2,7)",font_size=20).next_to(dot2,DOWN)self.add(dot2)self.add(axes)# 绘制所有元素 self.play(Create(graph),run_time=2)self.play(Write(graph_label))self.add(graph_label)self.add(td1,td2)self.wait(2)
运行结果:
这篇关于极限基础:变化率在manim中的实现的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!