数据结构（二）：二叉搜索树（Binary Search Tree）

本文主要是介绍数据结构（二）：二叉搜索树（Binary Search Tree），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

转自：数据结构（二）：二叉搜索树（Binary Search Tree） - 简书 (jianshu.com)

引子

定义

二叉搜索树是一种节点值之间具有一定数量级次序的二叉树，对于树中每个节点：

• 若其左子树存在，则其左子树中每个节点的值都不大于该节点值；
• 若其右子树存在，则其右子树中每个节点的值都不小于该节点值。

示例：

查询复杂度

观察二叉搜索树结构可知，查询每个节点需要的比较次数为节点深度加一。如深度为 0，节点值为 “6” 的根节点，只需要一次比较即可；深度为 1，节点值为 “3” 的节点，只需要两次比较。即二叉树节点个数确定的情况下，整颗树的高度越低，节点的查询复杂度越低。

二叉搜索树的两种极端情况：

【1】 完全二叉树，所有节点尽量填满树的每一层，上一层填满后还有剩余节点的话，则由左向右尽量填满下一层。如上图BST所示，即为一颗完全二叉树；
【2】每一层只有一个节点的二叉树。如下图SP_BST所示：

构造复杂度

二叉搜索树的构造过程，也就是将节点不断插入到树中适当位置的过程。该操作过程，与查询节点元素的操作基本相同，不同之处在于：

• 查询节点过程是，比较元素值是否相等，相等则返回，不相等则判断大小情况，迭代查询左、右子树，直到找到相等的元素，或子节点为空，返回节点不存在
• 插入节点的过程是，比较元素值是否相等，相等则返回，表示已存在，不相等则判断大小情况，迭代查询左、右子树，直到找到相等的元素，或子节点为空，则将节点插入该空节点位置。

由此可知，单个节点的构造复杂度和查询复杂度相同，为 

删除复杂度

二叉搜索树的节点删除包括两个过程，查找和删除。查询的过程和查询复杂度已知，这里说明一下删除节点的过程。

节点的删除有以下三种情况：

1. 待删除节点度为零；
2. 待删除节点度为一；
3. 待删除节点度为二。

第一种情况如下图 s_1 所示，待删除节点值为 “6”，该节点无子树，删除后并不影响二叉搜索树的结构特性，可以直接删除。即二叉搜索树中待删除节点度为零时，该节点为叶子节点，可以直接删除；

第二种情况如下图 s_2 所示，待删除节点值为 “7”，该节点有一个左子树，删除节点后，为了维持二叉搜索树结构特性，需要将左子树“上移”到删除的节点位置上。即二叉搜索树中待删除的节点度为一时，可以将待删除节点的左子树或右子树“上移”到删除节点位置上，以此来满足二叉搜索树的结构特性。

第三种情况如下图 s_3 所示，待删除节点值为 “9”，该节点既有左子树，也有右子树，删除节点后，为了维持二叉搜索树的结构特性，需要从其左子树中选出一个最大值的节点，“上移”到删除的节点位置上。即二叉搜索树中待删除节点的度为二时，可以将待删除节点的左子树中的最大值节点“移动”到删除节点位置上，以此来满足二叉搜索树的结构特性。

之前提到二叉搜索树中节点的删除操作，包括查询和删除两个过程，这里称删除节点后，维持二叉搜索树结构特性的操作为“稳定结构”操作，观察以上三种情况可知：

• 前两种情况下，删除节点后，“稳定结构”操作的复杂度都是常数级别，即整个的节点删除操作复杂度为 ；
• 第三种情况下，设删除的节点为，“稳定结构”操作需要查找 节点左子树中的最大值，也就是左子树中最“右”的叶子结点，即“稳定结构”操作其实也是一种内部的查询操作，所以整个的节点删除操作其实就是两个层次的查询操作，复杂度同为 ；

性能分析

由以上查询复杂度、构造复杂度和删除复杂度的分析可知，三种操作的时间复杂度皆为。下面分析线性结构的三种操作复杂度，以二分法为例： 

• 查询复杂度，时间复杂度为，优于二叉搜索树；
• 元素的插入操作包括两个步骤，查询和插入。查询的复杂度已知，插入后调整元素位置的复杂度为，即单个元素的构造复杂度为：
• 删除操作也包括两个步骤，查询和删除，查询的复杂度已知，删除后调整元素位置的复杂度为 ，即单个元素的删除复杂度为：

由此可知，二叉搜索树相对于线性结构，在构造复杂度和删除复杂度方面占优；在查询复杂度方面，二叉搜索树可能存在类似于斜树，每层上只有一个节点的情况，该情况下查询复杂度不占优势。

总结

二叉搜索树的节点查询、构造和删除性能，与树的高度相关，如果二叉搜索树能够更“平衡”一些，避免了树结构向线性结构的倾斜，则能够显著降低时间复杂度。二叉搜索树的存储方面，相对于线性结构只需要保存元素值，树中节点需要额外的空间保存节点之间的父子关系，所以在存储消耗上要高于线性结构。

代码附录

python版本：3.7，树中的遍历、节点插入和删除操作使用的是递归形式

• 树节点定义

# tree node definition
class Node(object):def __init__(self, value, lchild=None, rchild=None):self.value = valueself.lchild = lchildself.rchild = rchild

• 树定义

# tree definition
class Tree(object):def __init__(self, root=None):self.root = root# node in-order traversal(LDR)def traversal(self):traversal(self.root)# insert nodedef insert(self, value):self.root = insert(self.root, value)# delete nodedef delete(self, value):self.root = delete(self.root, value)

• 模块中对树结构中的函数进行实现

# node in-order traversal(LDR)
def traversal(node):if not node:returntraversal(node.lchild)print(node.value,end=' ')traversal(node.rchild)# insert node
def insert(root, value):if not root:return Node(value)if value < root.value:root.lchild = insert(root.lchild, value)elif value > root.value:root.rchild = insert(root.rchild, value)return root# delete node
def delete(root, value):if not root:return Noneif value < root.value:root.lchild = delete(root.lchild, value)elif value > root.value:root.rchild = delete(root.rchild, value)else:if root.lchild and root.rchild:  # degree of the node is 2target = root.lchild  # find the maximum node of the left subtreewhile target.rchild:target = target.rchildroot = delete(root, target.value)root.value = target.valueelse:  # degree of the node is [0|1]root = root.lchild if root.lchild else root.rchildreturn root

• 测试代码与输出

if __name__ == '__main__':arr = [5, 3, 4, 0, 2, 1, 8, 6, 9, 7]T = Tree()for i in arr:T.insert(i)print('BST in-order traversal------------------')T.traversal()print('\ndelete test------------------')for i in arr[::-1]:print('after delete',i,end=',BST in-order is = ')T.delete(i)T.traversal()print()

输出结果为：

BST in-order traversal------------------
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
delete test------------------
after delete 7,BST in-order is = 0 1 2 3 4 5 6 8 9 
after delete 9,BST in-order is = 0 1 2 3 4 5 6 8 
after delete 6,BST in-order is = 0 1 2 3 4 5 8 
after delete 8,BST in-order is = 0 1 2 3 4 5 
after delete 1,BST in-order is = 0 2 3 4 5 
after delete 2,BST in-order is = 0 3 4 5 
after delete 0,BST in-order is = 3 4 5 
after delete 4,BST in-order is = 3 5 
after delete 3,BST in-order is = 5 
after delete 5,BST in-order is = 

github 链接：二叉搜索树

这篇关于数据结构（二）：二叉搜索树（Binary Search Tree）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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