数学基础：切线和变化率

本文主要是介绍数学基础：切线和变化率，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

我们将看看微积分研究中两个相当重要的问题。现在关注这些问题有两个原因。

第一个问题：切线

我们要研究的第一个问题是切线问题。在讨论这个问题之前，最好定义一条切线。

函数的切线f(x)在点上x=1，是一条刚好在相关点接触函数图形的线，并且与该点的图形“平行”（以某种方式）。请看下面的图表。

from manim import *  class TangentLineScene01(Scene):  def construct(self):  # 创建坐标系  axes = Axes(  x_range=[-3, 3, 1],  y_range=[-3, 3, 1],  axis_config={"color": BLUE},  )  # 定义函数  def func(x):  return 0.5*x**4-1.5*x**3+2 # 绘制函数曲线  graph = axes.plot(func, color=RED)  graph_label = axes.get_graph_label(graph, label='f(x) = x^3 - 3x')  # 切点  tangent_point_x = 1  tangent_point_y = func(tangent_point_x)  # 切线的斜率  tangent_slope = 2 * tangent_point_x**3 - 4.5*tangent_point_x**2  # f'(x) = 3x^2 - 3  # 计算切线的 y 截距  y_intercept = tangent_point_y - tangent_slope * tangent_point_x  # 创建切线  tangent_line = axes.plot(lambda x: tangent_slope * x + y_intercept, color=BLUE, x_range=[-3, 3]) ar=Arrow(start=[-1,1,0],end=[2,1,0],buff=0,color=YELLOW)ar2=Arrow(start=[1,-2.5,0],end=[4.6,-2.3,0],buff=0)# 添加箭头和文本  tangent_text = Title("Tangent Line at $(1, f(1))$",color=GOLD) # 添加箭头和文本  tangent_text01 = MarkupText("此时我们有一条切线。", font_size=24, color=PINK).next_to(ar,DOWN)  not_tangent_text = MarkupText("这里不是切线", font_size=24).next_to(ar2, UP)  # 绘制所有元素  self.add(axes,graph,graph_label,tangent_line,tangent_text,ar,ar2,tangent_text01,tangent_text,not_tangent_text)#self.play(Create(axes), Create(graph), Write(graph_label))  #self.play(Create(tangent_line), Write(tangent_text))  # 保持场景  #self.wait(2)

在此图表中，该线在指示点处是一条切线，因为它只是在该点接触图形，并且在该点处也与图形“平行”。同样，在显示的第二个点上，该线确实只是在该点接触图形，但它在该点上与图形不“平行”，因此在该点上它不是与图形相切的线。

在显示的第二个点（线不是切线的点）处，我们有时将该线称为割线。

我们已经用了几次 parallel 这个词，我们可能应该小心一点。一般来说，如果一条线和一条图形在某个点上都沿同一方向移动，我们会认为它们在某个点上是平行的。因此，在上面的第一个点中，图形和线沿同一方向移动，因此我们说它们在该点上是平行的。另一方面，在第二个点，线条和图形不沿同一方向移动，因此它们在该点上不平行。

现在我们已经了解了切线的定义，让我们继续讨论切线问题。最好用一个例子来完成。

示例 1：找到 $f(x)=15-2x^{2}$ 在x=1处的切线。

我们从代数中知道，要找到一条线的方程，我们需要这条线上的两个点或这条线上的单个点和这条线的斜率。由于我们知道我们正在追寻一条切线，因此我们确实有一个点位于这条线上。函数的切线和图形必须接触x= 1 所以点(1,f(1))=(1,13)必须在线。

现在我们来到了问题所在。这就是我们所知道的关于切线的全部信息。为了找到切线，我们需要第二个点或切线的斜率。由于需要第二个点的唯一原因是让我们找到切线的斜率，让我们集中精力看看我们是否可以确定切线的斜率。

此时，我们所能做的就是得到切线斜率的估计值，但如果我们做对了，我们应该能够得到一个估计值，它实际上是切线的实际斜率。我们将从我们所追求的点开始来做到这一点，让我们称之为

P=(1,13)。然后，我们将选择位于函数图上的另一个点，我们称该点为Q=(x,f(x)).

为了便于论证，我们以x=2所以第二点将是Q=(2,7).下面是函数、切线和连接的割线的图表P和Q.

示例代码：

from manim import *  class TangentLineScene22(Scene):  def construct(self):  # 创建坐标系  axes = Axes(  x_range=[-1, 3, 1],  y_range=[-4, 20, 1], y_length=8,axis_config={"color": BLUE},  )  # 定义函数  def func(x):  return 15-2*x**2 def kfunc(x):return 19-6*x# 绘制函数曲线  graph = axes.plot(func, color=RED)graphk = axes.plot(kfunc, color=YELLOW_A)graph_label = axes.get_graph_label(graph, label='f(x) = 15 - 2x^2')  # 切点  tangent_point_x = 1  tangent_point_y = func(tangent_point_x)  # 切线的斜率  tangent_slope = -4*tangent_point_x# f'(x) = -4x  # 计算切线的 y 截距  y_intercept = tangent_point_y - tangent_slope * tangent_point_x  # 创建切线  tangent_line = axes.plot(lambda x: tangent_slope * x + y_intercept, color=BLUE_E, x_range=[-3, 3]) ar=Arrow(start=axes.c2p(4,9),end=[2,1,0],buff=0,color=YELLOW)ar2=Arrow(start=[1,-2.5,0],end=axes.c2p(2.7,3),buff=0)# 添加箭头和文本  tangent_text = Title("Tangent Line at $(1, f(1))$",color=GOLD).shift(RIGHT) dot1=Dot(axes.c2p(1,13))self.add(dot1)td1=Text("(1,13)",font_size=20).next_to(dot1,DOWN)dot2=Dot(axes.c2p(2,7))td2=Text("(2,7)",font_size=20).next_to(dot2,DOWN)self.add(dot2)# Create a line passing through dot1 and dot2 with long endpoints to simulate infinite lengthline_infinite = Line(dot2,dot1).set_color(RED)# 添加箭头和文本  tangent_text01 = MarkupText("这是条切线。", font_size=24, color=PINK).next_to(ar,UP,buff=0)  not_tangent_text = MarkupText("割线", font_size=24).next_to(axes.c2p(1.5,2))  # 绘制所有元素  self.add(axes,graph,graph_label,tangent_line,tangent_text,ar,ar2,tangent_text01,tangent_text,not_tangent_text)self.add(line_infinite,graphk,td1,td2)

从这张图中我们可以看出，割线和切线有些相似，因此割线的斜率应该有点接近切线的实际斜率。因此，作为切线斜率的估计，我们可以使用割线的斜率，我们称之为 $m_{PQ}$ ，即 ${m_{PQ}} = \frac{{f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right)}}{{2 - 1}} = \frac{{7 - 13}}{1} = - 6$

现在，如果我们对精度不太感兴趣，我们可以说这已经足够好了，并以此作为切线斜率的估计值。但是，我们希望估计值至少在某种程度上接近实际值。因此，为了获得更好的估计，我们可以采用xx这更接近x=1然后重做上述工作以获得新的斜率估计值。然后，我们可以取第三个值x甚至更接近，并得到更好的估计。换句话说，当我们采取Q越来越近P连接的割线的坡度Q和P应该越来越接近切线的斜率。

正如您所看到的当我们移动时Q越来越近P割线确实开始看起来越来越像切线，因此近似斜率（即割线的斜率）越来越接近确切的斜率。另外，不要担心我是如何得到精确或近似的斜率的。我们很快就会计算出近似的斜率，并且能够分几个部分计算出确切的斜率。

在这个图中，我们只看了Q的P，但我们也可以同样轻松地使用Q的左侧P我们会收到相同的结果。其实我们应该时刻看看Q位于两侧的P.在这种情况下，同样的事情发生在P.然而，我们最终会看到这不必发生。因此，在进行此类过程时，我们应该始终查看相关点的两侧发生了什么。

所以，让我们看看我们是否能得出我们上面显示的近似斜率，从而估计出切线的斜率。为了稍微简化该过程，让我们得到一个P和Q, $m_{PQ}$ ，这将适用于任何x我们选择与之合作。我们可以通过找到P和Q使用 “General” 形式的Q=(x,f(x))

${m_{PQ}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \frac{{15 - 2{x^2} - 13}}{{x - 1}} = \frac{{2 - 2{x^2}}}{{x - 1}}$