【调度算法】对偶问题和影子价格

2024-08-27 11:44

本文主要是介绍【调度算法】对偶问题和影子价格,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

一、场景引入

先看一个示例:

场景:农场主和市场

假设你是一个农场主,种植了玉米和小麦。你有一块地,同时有一定量的肥料和水资源。你需要决定如何分配这些资源来种植玉米和小麦,以最大化你的收益。

原问题

你的原问题是:如何分配你的土地、肥料和水,使得你种植的玉米和小麦的总收益最大化?

在这个问题中,你会考虑:

  • 每种作物需要多少土地?
  • 每种作物需要多少肥料和水?
  • 每种作物在市场上能卖多少钱?

你的目标是找到一种分配资源的方式,让你获得最大的收益。

对偶问题

现在,让我们从另一个角度来看这个问题:你并不是在直接考虑如何种植作物,而是想象自己是市场上的一个买家,对偶问题就是市场以某种价格购买你所有的资源(如土地、肥料和水),然后决定如何用这些资源来最大化收益。

对市场而言,他们会问自己:

  • 这些资源(比如土地、肥料和水)值多少钱?
  • 他们愿意为这些资源支付多少费用,才能确保自己在市场上也能最大化收益?

在对偶问题中,市场决定资源的价格,并试图以最小的成本获得足够的资源来达到他们的生产目标。

对偶理论为什么成立?

对偶理论成立的意思是,作为农场主,你希望通过有效利用资源来获得最大的收益,而市场希望通过合理定价来最小化他们的购买成本。理论上,当资源的市场价格正确时,你通过种植作物获得的最大收益,应该与市场为这些资源愿意支付的最小成本相等。

这就像是农场主和市场在博弈:农场主试图通过最优的资源分配来赚取最多的钱,而市场试图通过最优的定价来花费最少的钱。对偶理论告诉我们,这两者在理想情况下(例如资源分配合理、价格公正时)会达到一个平衡点,也就是收益最大化与成本最小化的状态。

实际意义

  • 对你作为农场主:你通过解决原问题来决定如何最好地使用资源。
  • 对市场:他们通过解决对偶问题来确定资源的价格,以确保能用最小的成本获得所需的资源。

二、数学模型

我们可以基于上面的农场主和市场的例子,构建一个简单的数学模型来表示原问题和对偶问题。

原问题(农场主的视角)

场景
  • 你有 ( L ) 单位的土地,( F ) 单位的肥料,和 ( W ) 单位的水。
  • 你可以种植两种作物:玉米(Corn)和小麦(Wheat)。
  • 每种作物的收益分别为 ( p_C )(每单位玉米的收益)和 ( p_W )(每单位小麦的收益)。
资源消耗
  • 玉米需要 ( a C L a_{CL} aCL ) 单位的土地,( a C F a_{CF} aCF ) 单位的肥料,和 ( a C W a_{CW} aCW ) 单位的水。
  • 小麦需要 ( a W L a_{WL} aWL ) 单位的土地,( a W F a_{WF} aWF ) 单位的肥料,和 ( a W W a_{WW} aWW ) 单位的水。
农场主的目标

你希望通过种植 ( x C x_C xC ) 单位的玉米和 ( x W x_W xW ) 单位的小麦来最大化收益:

[ maximize  Z = p C ⋅ x C + p W ⋅ x W \text{maximize} \ Z = p_C \cdot x_C + p_W \cdot x_W maximize Z=pCxC+pWxW ]

约束条件

你必须遵守以下资源约束:

  • 土地约束: ( a C L ⋅ x C + a W L ⋅ x W ≤ L a_{CL} \cdot x_C + a_{WL} \cdot x_W \leq L aCLxC+aWLxWL )
  • 肥料约束: ( a C F ⋅ x C + a W F ⋅ x W ≤ F a_{CF} \cdot x_C + a_{WF} \cdot x_W \leq F aCFxC+aWFxWF )
  • 水的约束: ( a C W ⋅ x C + a W W ⋅ x W ≤ W a_{CW} \cdot x_C + a_{WW} \cdot x_W \leq W aCWxC+aWWxWW )
  • 作物种植量非负: ( x C ≥ 0 x_C \geq 0 xC0 ),( x W ≥ 0 x_W \geq 0 xW0 )

对偶问题(市场的视角)

场景

市场希望通过支付一定的价格来获取这些资源。假设市场为土地、肥料和水分别支付的价格为 ( λ L \lambda_L λL )、( λ F \lambda_F λF ) 和 ( λ W \lambda_W λW )。

市场的目标

市场希望以最小的成本获得资源,满足农场主的需求:

[ minimize  C = λ L ⋅ L + λ F ⋅ F + λ W ⋅ W \text{minimize} \ C = \lambda_L \cdot L + \lambda_F \cdot F + \lambda_W \cdot W minimize C=λLL+λFF+λWW ]

约束条件

市场需要确保支付给农场主的价格足够高,使得农场主愿意使用资源来生产玉米和小麦:

  • 对玉米: ( λ L ⋅ a C L + λ F ⋅ a C F + λ W ⋅ a C W ≥ p C \lambda_L \cdot a_{CL} + \lambda_F \cdot a_{CF} + \lambda_W \cdot a_{CW} \geq p_C λLaCL+λFaCF+λWaCWpC )
  • 对小麦: ( λ L ⋅ a W L + λ F ⋅ a W F + λ W ⋅ a W W ≥ p W \lambda_L \cdot a_{WL} + \lambda_F \cdot a_{WF} + \lambda_W \cdot a_{WW} \geq p_W λLaWL+λFaWF+λWaWWpW )
  • 价格非负: ( KaTeX parse error: Can't use function '\)' in math mode at position 18: …ambda_L \geq 0 \̲)̲,\( \lambda_F \… )

总结

  • 原问题是农场主希望最大化收益,通过选择种植的作物数量来最优地利用资源。
  • 对偶问题是市场希望最小化成本,通过确定资源的价格来确保农场主愿意供应这些资源。

在理想情况下,两者的最优解会在某种程度上相互吻合,即原问题的最优收益等于对偶问题的最小成本。

在这个问题中,我们涉及两个概念:市场价格影子价格。这两个概念在优化问题和经济学中有不同的作用和意义。

三、市场价格和影子价格

1. 市场价格

市场价格指的是在对偶问题中,市场为资源(土地、肥料、水)愿意支付的价格。具体来说,它们是 ( λ L \lambda_L λL )(土地的市场价格)、( λ F \lambda_F λF )(肥料的市场价格)和 ( λ W \lambda_W λW )(水的市场价格)。

这些市场价格表示在市场上每单位资源的价值。市场通过这些价格购买资源,以便满足农场主的生产需求。

2. 影子价格

影子价格(Shadow Price),也称为对偶变量,是在优化问题中引入的一个概念,表示某个约束条件的紧张程度。它反映了在最优解处,每增加一单位该资源能够带来的收益增加量。影子价格是对偶问题中计算出来的,而不是直接在市场上看到的价格。

在这个问题中,影子价格与农场主的资源约束相关联:

  • 如果我们考虑土地约束 ( a C L ⋅ x C + a W L ⋅ x W ≤ L a_{CL} \cdot x_C + a_{WL} \cdot x_W \leq L aCLxC+aWLxWL ),那么影子价格告诉我们:如果我们增加一单位土地 ( L ),农场主的最优收益(目标函数的值)将增加多少。
  • 同样地,肥料的影子价格会告诉我们:增加一单位肥料 ( F ) 能够增加的收益。
  • 水的影子价格则反映了增加一单位水 ( W ) 对收益的提升。

影子价格通常通过对偶问题中的拉格朗日乘子来表示。它们揭示了资源的边际价值,在理想的竞争市场中,影子价格和市场价格在最优解处往往是相等的。

总结

  • 市场价格(( λ L \lambda_L λL ), ( λ F \lambda_F λF ), ( λ W \lambda_W λW ))是市场中为每单位资源支付的金额,它由市场供需决定。
  • 影子价格是优化问题中用于衡量资源的边际价值的内部价格,它表示在当前的资源约束下,每增加一单位资源能够为农场主带来多少额外收益。

这篇关于【调度算法】对偶问题和影子价格的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!


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