poj 1222 EXTENDED LIGHTS OUT (高斯消元解异或方程组 开关问题)

本文主要是介绍poj 1222 EXTENDED LIGHTS OUT (高斯消元解异或方程组 开关问题)，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

近距离观摩今天北京站的比赛，向志愿者学姐要了一份题目，看了看H题；

因为数据被弱化，瞬间就想到了背包；

就先研究下标准解法——异或方程组；

下面为转载文：

题意：有一个5*6的矩阵，每个位置都表示按钮和灯，1表示亮，0表示灭。每当按下一个位置的按钮，它和它周围灯的状态全部翻转，问在这样的一个方阵中按下哪些按钮可以把整个方阵都变成灭的，这时1表示按了，0表示没按。

以下分析部分转自：http://blog.csdn.net/shiren_Bod/article/details/5766907

这个游戏有一些技巧： 
1、按按钮的顺序可以随便。 
2、任何一个按钮都最多需要按下1次。因为按下第二次刚好抵消第一次，等于没有按。 

这个问题可以转化成数学问题。 
一个灯的布局可以看成一个0、1矩阵。以3x3为例： 
0 1 0 
1 1 0 
0 1 1 
表示一个布局。其中0表示灯灭，1表示灯亮。 
每次按下按钮（POJ1222）或者叫一个宿舍关灯（0998），可以看成在原矩阵上加（模2加，就是按位异或）上一个如下的矩阵： 
0 1 0 
1 1 1 
0 1 0 
上述矩阵中的1表示按下第2行第2列的按钮时，作用的范围。如果按左上角的按钮，就是： 
1 1 0 
1 0 0 
0 0 0 

我们记L为待求解的原始布局矩阵。A(i,j)表示按下第i行第j列的按钮时的作用范围矩阵。在上述例子中， 
L= 
0 1 0 
1 1 0 
0 1 1 

A(1,1)= 
1 1 0 
1 0 0 
0 0 0 

A(2,2)= 
0 1 0 
1 1 1 
0 1 0 

假设x(i,j)表示：想要使得L回到全灭状态，第i行第j列的按钮是否需要按下。0表示不按，1表示按下。那么，这个游戏就转化为如下方程的求解： 
L + x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = 0 

其中x(i,j)是未知数。方程右边的0表示零矩阵，表示全灭的状态。直观的理解就是：原来的L状态，经过了若干个A(i,j)的变换，最终变成0:全灭状态。 
由于是0、1矩阵，上述方程也可以写成： 
x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = L 

这是一个矩阵方程。两个矩阵相等，充要条件是矩阵中每个元素都相等。将上述方程展开，便转化成了一个9元1次方程组： 

简单地记做：AA * XX = LL 

这个方程有唯一解： 
x(1,1) x(1,2) x(1,3) 
x(2,1) x(2,2) x(2,3) 
x(3,1) x(3,2) x(3,3) 
= 
1 1 1 
0 0 0 
0 0 1 

也就是说，按下第一行的3个按钮，和右下角的按钮，就

能使L状态变成全灭状态。  对于固定行列的阵列来说，AA矩阵也是确定的。是否存在解，解是否唯一，只与AA矩阵有关。对于唯一解的情形，只要将LL乘以AA的逆矩阵即可。具体求AA的逆矩阵的方法，可以用高斯消元法。  由于是0、1矩阵，上述方程也可以写成： 将1式两边同时加上一个L矩阵就可以变成 x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = L A（1，1）把矩阵 转化为一个列向量，L也转化为一个列向量， 将sigma xi*Ai=Li 对应位置的值相等就可以建立方程组了 X1*A(1,1)1+X2*A(1,2)1+X3*A(1,3)1+…………X30*A(30,30)1=L1;    mod 2 X1*A(1,1)2+X2*A(1,2)2+X3*A(1,3)2+…………X30*A(30,30)2=L2;    mod 2 X1*A(1,1)3+X2*A(1,2)3+X3*A(1,3)3+…………X30*A(30,30)3=L3    mod 2 ……. ……. ……. X1*A(1,1)30+X2*A(1,2)30+X3*A(1,3)30+…………X30*A(30,30)30=L30; mod 2 其中A(i,j)k 表示列向量A中第K个元素 这里的*表示点乘，Xi取(1,0) +表示模2加法，所以在高斯消元的时候可以用^异或运算

1个开关最多控制5个灯，在构造的矩阵中，a[i][j]=1表示第i个开关可以影响到j号灯

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N=31;
int a[N][N];  //系数矩阵
int ans[N];/*
解异或方程可以套用高斯消元法，只须将原来的加减操作替换成异或操作就可以
两个方程的左边异或之后，它们的公共项就没有了。
*/void Debug ()
{for (int i=0;i<N-1;i++)for (int j=0;j<N-1;j++)printf (j==N-2?"%d\n":"%d ",a[i][j]);
}void Gauss ()
{int i,j,k;for (k=0;k<30;k++){i=k;for (;i<30;i++)//对于k=0..N-1,找到一个M[i][k]不为0的行iif (a[i][k]!=0)break;for (j=0;j<=30;j++)  //把找到的第i行与第k行交换swap (a[k][j],a[i][j]);
/*用第k行去异或下面所有M[i][j]不为0的行i,消去它们的第k个系数,这样就将原矩阵化成了上三角矩阵
最后一行只有一个未知数，这个未知数就已经求出来了，
用它跟上面所有含有这个未知数的方程异或，就消去了所有的着个未知数，
此时倒数第二行也只有一个未知数，它就被求出来了，用这样的方法可以自下而上求出所有未知数。
*/for (i=0;i<30;i++)if (k!=i && a[i][k])for (j=0;j<=30;j++)   // <= a[i][j]=a[k][j]^a[i][j];}for (i=0;i<30;i++)ans[i]=a[i][30];
}int main ()
{  
#ifdef ONLINE_JUDGE
#elsefreopen("read.txt","r",stdin);
#endifint T,i;scanf("%d",&T);for (int Cas=1;Cas<=T;Cas++){memset(a,0,sizeof(a));memset(ans,0,sizeof(ans));for (i=0;i<30;i++){scanf("%d",&a[i][30]);ans[i]=0;}for (i=0;i<30;i++){a[i][i]=1;if (i%6!=0) a[i-1][i]=1; //if (i%6!=5) a[i+1][i]=1;if (i>5) a[i-6][i]=1;if (i<24) a[i+6][i]=1;}
//		Debug();Gauss();printf ("PUZZLE #%d\n",Cas);for (i=0;i<30;i++)printf (i%6==5?"%d\n":"%d ",ans[i]);}return 0;
}

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