数学生物学-4-混乱系统(Chaotic Systems)

2024-08-23 13:44

本文主要是介绍数学生物学-4-混乱系统(Chaotic Systems),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

混沌系统(Chaotic Systems)是一种复杂且非线性的动态系统,其基本概念和特征有:

  1. 对初始条件的敏感依赖性:
    混沌系统的核心特征之一是对初始条件的极端敏感性,这一特性通常被称为“蝴蝶效应”。这意味着即使是极其微小的差异在初始状态也可能随时间放大,导致系统行为的显著不同。例如,天气预报模型中微小误差的累积可能导致长期预测的显著偏差。这种敏感性使得混沌系统的确切长期行为变得难以预测。

  2. 内在随机性:
    混沌系统表现出一种看似随机的行为,但实际上这种行为是由确定性方程所描述的。换句话说,尽管系统的演化遵循严格的数学规则,但其表现出来的模式却类似于随机过程。这种内在的随机性并不意味着外部噪声或不确定性对系统的影响,而是系统本身固有的性质。

  3. 长期预测的不可能性:
    由于混沌系统对初始条件的敏感依赖性和内在的随机性,这些系统通常被认为在长期内是不可预测的。即使我们拥有系统的完整数学描述和精确的初始条件,随着时间的推移,预测误差的增长也会导致长期预测失去意义。因此,对于混沌系统,只能进行有限时间内的可靠预测。


 Robert May's Model

罗伯特·梅模型(Robert May's Model)是由理论生态学家罗伯特·梅在20世纪70年代中期提出的一种生态学模型。该模型的数学表达式非常简单,但却能描述复杂的生态动态行为。

模型的方程如下:

其中,Nt表示在时间t时的人口规模,以承载能力的比例表示,通常介于0和1之间。参数a是一个正数,影响人口的增长率。

这个方程虽然简单,但包含了丰富的生态动态信息。项aNt​模拟了人口的指数增长特性,而(1−Nt)因子引入了密度依赖效应,意味着当人口规模接近承载能力(即Nt接近1)时,增长率会下降。

参数a的值对模型的行为至关重要。它的取值范围必须在0到4之间。当a小于1时,人口将趋向于灭绝。如果a在1到3之间,人口将稳定在一个特定水平,显示出稳定的平衡状态。然而,当a大于3时,系统将变得混沌,人口规模随时间表现出不可预测的行为。

我们使用R语言进行可视化:

# 定义罗伯特·梅模型的函数
robert_may_model <- function(N, a, t_max) {Nt <- numeric(t_max)Nt[1] <- Nfor (t in 1:(t_max - 1)) {Nt[t + 1] <- a * Nt[t] * (1 - Nt[t])}return(Nt)
}# 设置初始条件
N0 <- 0.5 # 初始人口比例
t_max <- 100 # 时间步长# 设置不同的a值
a_values <- c(1.5, 2.2, 3.5, 3.8)# 初始化绘图
plot(0, type = "n", xlim = c(1, t_max), ylim = c(0, 1),xlab = "Time (t)", ylab = "Population Size (N)",main = "Robert May's Model for Different Values of a")# 对每个a值进行模拟并绘制结果
for (a in a_values) {Nt <- robert_may_model(N0, a, t_max)lines(1:t_max, Nt, type = "l", col = rainbow(length(a_values))[which(a == a_values)])
}# 添加图例
legend("topright", legend = paste("a =", a_values), col = rainbow(length(a_values)), lty = 1)

当参数a取较小值时,模型的解与离散逻辑模型相似;而当a的值增加时,解开始在两值之间振荡;对于更大的a值,解的振荡似乎没有特定模式。

模型求解

我们使用python对模型进行逐步求解,以更细致角度:

# May's Chaotic system population model 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
a = 1.5 
steps = 15 
N = np.zeros(steps+1) 
t = np.zeros(steps+1) 
N[0] = 0.05 
t[0] = 0.0 
for i in range(0, steps): N[i+1] = a*N[i]*(1 -N[i]) t[i+1] = t[i] + 1.0 
print (N) 
# plot results 
plt.plot(t,N) 
plt.xlabel('Time') 
plt.ylabel('N') 
plt.show()

我们还可以使用Matlab得到同样的结果:

 % Script to run the solution 
steps = 20; 
N = zeros(1,steps); 
t = zeros(1,steps); 
N(1) = 0.05; 
for i = 1:1:steps 
N(i+1) = maysfunc(N(i)); 
t(i+1) = t(i) + 1; 
end 
plot(t,N); 
title('Mays model solution for a = 1.5') 
xlabel('Time') 
ylabel('N') 
function [ nnew ] = maysfunc( n ) 
a = 1.5; 
nnew = a*n*(1-n); 
end

模型固定点

固定点是数学模型中的一个关键概念,特别是在研究动态系统如May模型时。

数学生物学-3-固定点、稳定性和蛛网图(Fixed Points, Stability, and Cobwebbing)-CSDN博客

固定点是指系统中的一个状态,在该状态下,如果系统从该点出发,它将保持不变。在May模型中,固定点可以通过解析方法确定,其方程为:

 通过代数变换,我们可以找到固定点的表达式:

这表明,固定点N的值取决于参数a。例如,当a=3.8时,固定点N计算如下:

我们使用mathematica求解固定点:

 

这个量是一个有理数,但当用浮点变量表示时,不能用有限位数完美地表示。使用一个能考虑32位数字的计算器进行一些计算,得到的值是0.7368421052631578947368...,在小数点后第18位开始重复。一个典型的Python(或C语言)程序中的float或double类型的变量只能保留大约16位数字。因此,在Mathematica笔记本的第一部分(图6.5)中,解再次开始振荡并不令人惊讶,因为我们无法完美地表示这个固定点的值。然而,请注意笔记本的第二部分,其中初始值保持为分数28/38。Mathematica有一个有趣的特性,即如果你以分数形式输入一个值,该值将保持这种形式,而不是转换为浮点形式,从而在后续计算中保持其准确性。正如你在笔记本中看到的,对于这个案例,解保持在这个初始值。根据我们之前关于不动点和稳定性的讨论,我们会说在这种情况下,28/38是一个不动点,但一个不稳定的不动点,因为即使从N的这个值有非常轻微的偏差,也会导致解偏离不动点。希望你看作是这个混沌系统对初始条件高度敏感的另一种结果。

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http://www.chinasem.cn/article/1099544

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