数学基础 -- 线性代数之排列及其逆序数

2024-08-22 23:12

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排列及其逆序数

排列(Permutation)是指将一个有限集合的所有元素按照一定的顺序进行排列,每种不同的排列都称为该集合的一个排列。例如,集合 { 1 , 2 , 3 } \{1, 2, 3\} {1,2,3} 的所有排列为 ( 1 , 2 , 3 ) (1, 2, 3) (1,2,3) ( 1 , 3 , 2 ) (1, 3, 2) (1,3,2) ( 2 , 1 , 3 ) (2, 1, 3) (2,1,3) ( 2 , 3 , 1 ) (2, 3, 1) (2,3,1) ( 3 , 1 , 2 ) (3, 1, 2) (3,1,2) ( 3 , 2 , 1 ) (3, 2, 1) (3,2,1)

逆序数

逆序数(Inversion Number)是排列中的一种度量方式,表示一个排列中,出现了多少对元素的相对顺序与它们在集合中的自然顺序相反。例如,对于排列 ( 2 , 3 , 1 ) (2, 3, 1) (2,3,1),我们可以看到元素“2”比“1”大却排在“1”的前面,因此这对元素构成了一个逆序。同样,“3”比“1”大且也排在“1”的前面,因此它也是逆序的一对。因此,排列 ( 2 , 3 , 1 ) (2, 3, 1) (2,3,1) 的逆序数为2。

如何计算逆序数

假设给定一个长度为 n n n 的排列 ( a 1 , a 2 , … , a n ) (a_1, a_2, \dots, a_n) (a1,a2,,an),逆序数可以通过如下步骤计算:

  1. 对于每个元素 a i a_i ai,找到后面所有比 a i a_i ai 小的元素的个数。
  2. 将所有这些个数相加,得到排列的逆序数。

举例说明

假设排列为 ( 3 , 1 , 2 ) (3, 1, 2) (3,1,2),我们计算它的逆序数:

  • 对于元素 3:后面比 3 小的元素有 1 和 2,共 2 个逆序。
  • 对于元素 1:后面没有比 1 小的元素,所以没有逆序。
  • 对于元素 2:后面没有比 2 小的元素,所以没有逆序。

因此,排列 ( 3 , 1 , 2 ) (3, 1, 2) (3,1,2) 的逆序数为 2。

常见用途

逆序数的概念在算法和数据结构中有广泛应用,特别是在排序算法(如归并排序、快速排序)以及计算排列的奇偶性(确定排列是否是偶排列或奇排列)等问题中。

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