概率统计Python计算：连续型随机变量分布（uniform expon）

本文主要是介绍概率统计Python计算：连续型随机变量分布（uniform expon），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. uniform分布（均匀分布）

Python的scipy.stats包中的对象uniform表示连续型的均匀分布。下表展示了uniform分布的几个常用函数。

函数名	参数	功能
rvs(loc, scale, size)	loc：分布参数$a$，缺省值为0， scale：分布参数差$b-a$，缺省值为1，size：产生的随机数个数，缺省值为1	产生size个随机数
pdf(x, loc, scale)	x：自变量取值，loc，scale：与上同	概率密度函数$f(x)$
cdf(x, loc, scale)	x，loc，scale：与上同	累积概率函数（分布函数）$F(x)$
ppf(q, loc, scale)	q：分位点函数自变量，loc，scale：与上同	分布函数的反函数$F^{-1}(q)$
sf(x, loc, scale)	x：自变量取值，loc，scale：与上同	残存函数$1-F(x)$
例1 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车。即7:00，7:15，7:30，7:45，……等时刻有汽车到达此站。如果乘客到达此站的时间$X$是服从7:00到7:30之间的均匀分布的随机变量，试求他候车时间少于5分钟的概率。
解：由题设知$X$~$U(0,30)$，其分布函数
$$ F(x)=\begin{cases}
0&x<0\

\frac{x}{30}&0\leq x\leq 30\\
1&x\geq 30

\end{cases}KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 48: …客候车时间少于5分钟（记为事件$̲A$），根据班车时刻表，有三种…P(A)=P({10\leq X\leq15}\cup{25\leq X\leq30})\
=P(10\leq X\leq15)+P(25\leq X\leq30)\
=F(15)-F(10)+F(30)-F(25)\
=\frac{15}{30}-\frac{10}{30}+\frac{30}{30}-\frac{25}{30}=\frac{1}{3}$$
下列Python代码计算本例中的概率$P(A)=F(15)-F(10)+F(30)-F(25)$。

from scipy.stats import uniform                     #导入uniform
print('P(A)=%.4f'%(uniform.cdf(x=15, scale=30)-     #F(15)-uniform.cdf(x=10, scale=30)+ #F(10)+uniform.cdf(x=30, scale=30)- #F(30)-uniform.cdf(x=25, scale=30)))#F(25)

程序的第1行导入uniform。第2~5行输出计算结果。注意，调用cdf函数时传递的参数：首个参数x分别表示自变量的值15、10、30和25，第2个参数loc，由于本例中均匀分布的参数$a=0$与loc的缺省值相同，故省略。第三个参数scale表示分布参数差$b-a$，本例中$b-a=30$，故传递scale=30。运行该程序，输出

P(A)=0.3333

此即为$P(A)=1/3$精确到万分位的值。

2. expon分布（指数分布）

Scipy.stats包中的expon对象表示指数分布。下表展示了expon分布的常用函数。

函数名	参数	功能
rvs(scale, size)	scale：分布参数$\lambda$，缺省值为1，size：产生的随机数个数，缺省值为1	产生size个随机数
pdf(x, loc, scale)	x：自变量取值，scale：与上同	概率密度函数$f(x)$
cdf(x, scale)	x，scale：与上同	累积概率函数（分布函数）$F(x)$
ppf(q, scale)	q：分位点函数自变量，scale：与上同	分布函数的反函数$F^{-1}(q)$
sf(x, scale)	x：自变量取值，scale：与上同	残存函数$1-F(x)$
例2 假定自动取款机对每位顾客的服务时间（单位：min）服从$\lambda =3$的指数分布，如果有一个顾客恰好在你前头走到空闲的取款机，求：

1. 你至少等候3分钟的概率；
2. 你等候的时间在3~6分钟的概率。

解：按题设，两人来到的时间一致。一人使用取款机而另一人等待的时间$X$的分布函数为
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ 1-e^{-x/3}& x\ge 0\end{array}$$
因此，
（1）至少等待3分钟的概率为
$$P(X\ge 3)=1-P(X<3)=1-F(3)=e^{-1}=\mathrm{0.3678.}$$
（2）等待时间在3~6分钟的概率为
$$P(3\le X\le 6)=F(6)-F(3)=e^{-1}-e^{-2}=\mathrm{0.2325.}$$
下列代码验算本例的计算结果。

from scipy.stats import expon                           #导入expon
prob1=expon.sf(x=3, scale=3)                            #1-F(3)
prob2=expon.cdf(x=6, scale=3)-expon.cdf(x=3, scale=3)   #F(6)-F(3)
print('P(X>3)=%.4f'%prob1)
print('P(3<=X<=6)=%.4f'%prob2)

程序中第1行导入expon。第2行用残存函数sf计算$P(X>3)$。第3行用cdf函数计算$P(3\le X\le 6)$。注意传递给参数scale的是指数分布的参数$\lambda =3$。运行该程序输出：

P(X>3)=0.3679
P(3<=X<=6)=0.2325

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