概率统计Python计算：解2-维几何概型问题

本文主要是介绍概率统计Python计算：解2-维几何概型问题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

对于2-维空间的几何概型，其中事件的概率须通过计算平面区域的面积才能求得。由函数曲线围成的区域$D=\{(x,y)|a\le x\le b,f_1(x)\le y\le f_2(x)\}$，其面积我们可以用二重积分求得：
$$D\text{的面积}=\underset{D}{\iint }d\sigma ={\int }_a^b\left({\int }_{f_1(x)}^{f_2(x)}dy\right)dx$$
Python的scipy.integrate包里就包含了通用的计算二重积分的函数dblquad。为针对性更强，更便于计算几何概型中事件的概率，我们将dblquad包装成如下的计算平面区域面积的函数：

from scipy.integrate import dblquad
def areaBetween(a, b, f1, f2):one = lambda x, y: 1area, _ =dblquad(one, a, b, f1, f2)return area

程序的第1行，从scipy.integrate包中导入dblquad函数。Scipy是一个用于科学计算的Python代码包，包含了各种科学与工程技术领域的数值计算工具。用Python讨论概率统计的各种计算，都需要引用其中的代码模块（包括类、对象和函数）。例如，上述代码中引入的integrate.dblquad就是其中一个关于二重积分计算的函数。
第2~5行定义的函数areaBetween，其功能就是计算并返回平面区域$D=\{(x,y)|a\le x\le b,f_1(x)\le y\le f_2(x)\}$的面积。该函数包含4个参数，a, b, f1和f2分别表示区域的边界。显然，a、b是实数参数，而f1和f2是函数参数。
用二重积分计算平面区域$D$的面积，$D$的边界是作为积分的上下限使用的，此时的被积函数是常数1。第3行我们用lambda运算符定义了常函数1，命名为one。注意，这是一个二元函数（有两个参数：x和y），用来表示被积函数。
第4行实际上就是调用dblquad函数计算边界为$a\le x\le b$, $f_1(x)\le y\le f_2(x)$的平面区域面积。该函数有5个参数：其一为被积函数，我们传递第3行的one；其二、三为x的上、下界，我们传递a和b；其四、五是y的上、下界，我们传递f1和f2。该函数返回由两个值组成二元组。第一个分量就是计算得到的积分值，我们赋予area；第二个分量是可能存在的误差，我们用“$\_$”隐藏之。第5行将area作为areaBetween函数的返回值返回。
例1 平面上画有一些平行线，它们之间的距离都等于a，向此平面任投一长度为$l(l<a)$的针，试求此针与任一平行线相交的概率。
解： 投针问题如上图所示。设针的中点和与之较近的平行线之间的距离为$x$，针与该条平行线的夹角为$\phi$。显然$x$，$\phi$满足$0\le x\le a/2$，$0\le \phi \le \pi$。即该试验的样本空间$S=\{(x,\phi )|0\le x\le a/2,0\le \phi \le \pi \}$。事件$A$：“所投掷的针与平行线之一相交”发生当且仅当$x\le \frac{l}{2}sin\phi$（$0\le \phi \le \pi$）。即$A=\{(x,\phi )|x\le \frac{l}{2}sin\phi ,0\le \phi \le \pi \}$
（见下图）。由投针的随机性可知这是一个几何概型。

样本空间$S$的面积$\mu (S)=\frac{a}{2}\pi$，事件$A$的面积$\mu (A)={\int }_0^{\pi }\frac{l}{2}sin\phi d\phi =l$。于是
$$P(A)=\frac{\mu (A)}{\mu (S)}=\frac{2l}{a\pi }.$$
下列代码就$a=4$，$l=3$验算投针问题。

from math import sin, pi                    #导入sin,pi
a=4                                         #设置a的值
l=3                                         #设置l的值
zero=lambda x: 0                            #定义y的下边界
halfa=lambda x: a/2                         #样本空间的上边界
f=lambda x: l*sin(x)/2                   	#事件A的上边界
Aarea=areaBetween(0, pi, zero, f)        	#事件A的面积
Sarea=areaBetween(0, pi, zero, halfa)    	#样本空间面积
print('P(A)=%.4f'%(Aarea/Sarea))

第2，3行分别将平行线距离a和针的长度l初始化为4和3。第4，5，6行用lambda运算符定义了值为0的常函数zero、带有因子$l/2$的正弦函数（math包中定义的正弦函数sin）f和值为$a/2$的常函数halfa。第7行调用函数areaBetween，计算0与$\frac{l}{2}sin\phi$围成的区域的面积，四个参数0, pi, zero, f界定了此区域。计算的结果Aarea就是事件A的面积。第8行调用areaBetween，计算表示S的矩形面积Sarea，该矩形由参数0, pi（math包中定义的常量$\pi$）, zero, halfa界定。第10行输出A的概率。运行程序，输出

P(A)=0.4775

其中的0.4775恰是$a=4$，$l=3$时，$P(A)=\frac{2l}{a\pi }=\frac{3}{2\pi }$精确到万分位的近似值。
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