概率统计Python计算：假设检验应用——基于成对数据的检验

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设有$n$个相互独立的观测结果$(X_1,Y_1)$，$(X_2,Y_2)$，$\cdots$，$(X_n,Y_n)$，诸对$X_i$和$Y_i$受同一因素影响，$D_i=X_i-Y_i$~$N(\mu ,{\sigma }^2),i=1,2,\cdots ,n$。其中$\mu$和${\sigma }^2$均未知。在指定显著水平$\alpha$下，检验假设
$$\begin{gathered} H_0:\mu ={\mu }_0(H_1:\mu \ne {\mu }_0)\text{或} \\ {H}_0:\mu \le {\mu }_0(H_1:\mu >{\mu }_0)\text{或} \\ {H}_0:\mu \ge {\mu }_0(H_1:\mu <{\mu }_0). \end{gathered}$$
的问题，称为基于成对数据的检验问题。由于$D_i$~$N(\mu ,{\sigma }^2),i=1,2,\cdots ,n$，且${\sigma }^2$未知，故可用$t$检验法解决基于成对数据的检验问题。
由于$D_i=X_i-Y_i$~$N(\mu ,{\sigma }^2)$，$i=1,2,\cdots ,n$，其中${\sigma }^2$未知。在显著水平$\alpha =0.05$下，为检验假设$H_0:\mu ={\mu }_0$（或$H_0:\mu \le {\mu }_0$或$H_0:\mu \ge {\mu }_0$），scipy.stats包提供了函数
$$\text{ttest\_1samp(a, popmean, alternative=’two-sided’)}$$
其参数a表示序列 { d 1 = x 1 − y 1 , d 2 = x 2 − y 2 , ⋯ , d n = x n − y n } \{d_1=x_1-y_1,d_2=x_2-y_2,\cdots,d_n=x_n-y_n\} {d1​=x1​−y1​,d2​=x2​−y2​,⋯,dn​=xn​−yn​}，popmean表示$\mu$的假设值${\mu }_0$，alternative为三个选项之一’two-sided’，‘greater’或’less’，分别表示双侧假设、右侧假设及左侧假设，缺省值为表示双侧假设的’two-sided’。该函数的返回值包括两个数据：表示检验统计量值$\frac{\overline{d}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$的statistic和表示检验p值的pvalue。
例1将双胞胎分开来抚养，一个由父母亲自带大，另一个不是由父母亲自带大。现取14对双胞胎测试他们的智商，智商测试得分如下：

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
父母带大$X_i$	23	31	25	18	19	25	28	18	25	28	22	14	34	36
非父母带大$Y_i$	22	31	29	24	28	31	27	15	23	27	26	19	30	28

希望比较两种不同的成长环境是否对孩子的智商有不同的影响。
解： 首先，注意到表中数据是成对出现的，14对双胞胎的智商$(X_i,Y_i),i=1,2,\cdots ,14$，任何两对双胞胎的成长过程互不影响，故可以认为是相互独立的。同一家庭的双胞胎孩子的智商$X_i$和$Y_i$应当由某种联系。为考察一对双胞胎的不同成长环境对智商的影响，考虑两者的差$D_i=X_i-Y_i,i=1,2,\cdots ,14$。由于诸$D_i$均受同样因素（孩子的成长环境）影响，故可认为具有相同的分布。假定$D_i$~$N(\mu ,{\sigma }^2),i=1,2,\cdots ,14$（由诸$(X_i,Y_i)$的相互独立性，知诸$D_i$也是相互独立的），本例即是需要在一定的显著水平$\alpha$下检验假设
$$H_0:\mu =0(H_1:\mu \ne 0).$$
下列代码完成例7-26中对双侧假设$H_0$在显著水平$\alpha =0.05$下的检验计算。

import numpy as np                      #导入numpy
from scipy.stats import ttest_1samp     #导入ttest_1samp
x=np.array([23, 31, 25, 18, 19, 25, 28, #设置样本数据18, 25, 28, 22, 14, 34, 36])
y=np.array([22, 31, 29, 24, 28, 31, 27,15, 23, 27, 26, 19, 30, 28])
alpha=0.05                              #显著水平
d=x-y                                   #计算di=xi-yi
_,pvalue=ttest_1samp(d, 0)              #计算检验p值
print('mu=0 is %s.'%(pvalue>=alpha))

程序的第3~7行按题面设置各项数据。第8行计算序列 d = { d 1 = x 1 − y 1 , d 2 = x 2 − y 2 , ⋯ , d n = x n − y n } d=\{d_1=x_1-y_1,d_2=x_2-y_2,\cdots,d_n=x_n-y_n\} d={d1​=x1​−y1​,d2​=x2​−y2​,⋯,dn​=xn​−yn​}，记为d。第9行调用函数ttest_1samp计算检验假设$H_0$的p值（由于此处不需要检验统计量值，故用下划线’_'将返回值中的statistic屏蔽掉），第10行计算检验并输出。

mu=0 is True.

表示接受假设$H_0:\mu =0$，即生长环境对孩子的智商没有显著影响。
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