Hermite 三次插值可编辑样条

本文主要是介绍Hermite 三次插值可编辑样条，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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问题描述

利用三次样条和Hermite插值制作一个类似于ppt里的曲线工作。

基本思路

1. 对于给定点，初始生成时用参数化+三次函数插值的方式生成。三次样条函数插值法
2. 生成后在各型值点处展示切线信息。
3. 编辑时，利用两点两切线的信息，通过hermite三次插值进行分段插值。

切线计算

对曲线参数化后

$P(t)=\{\begin{array}{l}y(t)\\ x(t)\end{array}$

切线信息就是 P(t)的1阶导
$P^{\prime }(t)=\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(t)\\ x^{\prime }(t)\end{array}$

根据三弯矩公式求导，得到导数公式。
$S_i^{\prime }(x)=-\frac{M_i}{2h_i}(x_{i+1}-x{)}^2+\frac{M_{i+1}}{2h_i}(x-x_i{)}^2+(\frac{y_{i+1}}{h_i}-\frac{M_{i+1}{h}_i}{6})+(\frac{M_i{h}_i}{6}-\frac{y_i}{h_i})$

Hermite 插值法

给定两点两切线信息，求出两点之间的曲线方程。

设两端点和导数如下：

$\begin{array}{l}\mathbf{P}(0)={\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}\\ \mathbf{P}(1)={\mathbf{p}}_{\mathbf{i}+1}\\ \mathbf{P}{}^{\prime }(0)={\mathbf{Dp}}_{\mathbf{i}}\\ \mathbf{P}{}^{\prime }(1)={\mathbf{Dp}}_{\mathbf{i}+1}\end{array}$

可以给出待定式

$\mathbf{P}(u)=\mathbf{a}{u}^3+\mathbf{b}{u}^2+\mathbf{c}u+\mathbf{d},u\in [0,1]$

我们希望求得a,b,c,d从而得到表达式

$分量{\mathbf{P}}_x(u)={\mathbf{a}}_x{u}^3+{\mathbf{b}}_x{u}^2+{\mathbf{c}}_{x}u+{\mathbf{d}}_x$

y, z也有类似的关系。

可以写成矩阵形式

$\mathbf{P}(u)=\left[\begin{array}{cccc}{u}^3& u^2& u& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}\\ \mathbf{b}\\ \mathbf{c}\\ \mathbf{d}\end{array}\right](1)$

对P(u) 求导得到
${\mathbf{P}}^{\prime }(u)=\left[\begin{array}{cccc}3u^2& 2u& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}\\ \mathbf{b}\\ \mathbf{c}\\ \mathbf{d}\end{array}\right](2)$

把u=0, u=1 时的值和一阶导代入式（1），式（2）可以得到方程组

$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{P}}_i\\ {\mathbf{P}}_{i+1}\\ \mathbf{D}{p}_i\\ \mathbf{D}{p}_{i+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 3& 2& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}\\ \mathbf{b}\\ \mathbf{c}\\ \mathbf{d}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{P}}_i\\ {\mathbf{P}}_{i+1}\\ \mathbf{D}{p}_i\\ \mathbf{D}{p}_{i+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 3& 2& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}\\ \mathbf{b}\\ \mathbf{c}\\ \mathbf{d}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}\\ \mathbf{b}\\ \mathbf{c}\\ \mathbf{d}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 3& 2& 1& 0\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\mathbf{P}}_i\\ {\mathbf{P}}_{i+1}\\ \mathbf{D}{p}_i\\ \mathbf{D}{p}_{i+1}\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cccc}2& -2& 1& 1\\ -3& 3& -2& -1\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{P}}_i\\ {\mathbf{P}}_{i+1}\\ \mathbf{D}{p}_i\\ \mathbf{D}{p}_{i+1}\end{array}\right]$

令
${\mathbf{M}}_H=\left[\begin{array}{cccc}2& -2& 1& 1\\ -3& 3& -2& -1\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]$

$\mathbf{P}(u)=\left[\begin{array}{cccc}{u}^3& u^2& u& 1\end{array}\right]{\mathbf{M}}_H\left[\begin{array}{c}{\mathbf{P}}_i\\ {\mathbf{P}}_{i+1}\\ \mathbf{D}{p}_i\\ \mathbf{D}{p}_{i+1}\end{array}\right]$

这样就可以直接由两点两切线直接得到表达式。

展开得到分段表达式

${\mathbf{P}}_i(u)={\mathbf{P}}_i(2u^3-3u^2+1)+{\mathbf{P}}_{i+1}(-2u^3+3u^2)+\mathbf{D}{p}_i(u^3-2u^2+u)+\mathbf{D}{p}_{i+1}(u^3-u^2)$

实现

代码：
https://gitcode.com/chenbb1989/geometric_model/tree/master/gohw4-1

演示视频

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