CV学习笔记6-一维傅里叶正、逆变换公式

本文主要是介绍CV学习笔记6-一维傅里叶正、逆变换公式，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。傅里叶变换在信号处理、图像处理等领域有广泛的应用。以下是 一维傅里叶变换 的正变换和逆变换的公式：

1. 一维傅里叶正变换

傅里叶正变换将时域信号转换为频域信号。其公式为：

$\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot e^{-j 2 \pi f t} \, dt$

其中：

( x(t) ) 是时域信号。
( X(f) ) 是频域信号。
( f ) 是频率。
( t ) 是时间。
( j ) 是虚数单位， $j^2 = -1$ .

2. 一维傅里叶逆变换

傅里叶逆变换将频域信号转换回时域信号。其公式为：

$\int_{-\infty}^{\infty} X(f) \cdot e^{j 2 \pi f t} \, df$

其中：

( x(t) ) 是时域信号。
( X(f) ) 是频域信号。
( f ) 是频率。
( t ) 是时间。
( j ) 是虚数单位， $j^2 = -1$ .

离散傅里叶变换（DFT）和离散傅里叶逆变换（IDFT）

在计算机处理中，信号通常是离散的，因此使用离散傅里叶变换（DFT）和离散傅里叶逆变换（IDFT）：

1. 离散傅里叶变换（DFT）

$\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j \frac{2 \pi k n}{N}}$

其中：

( x[n] ) 是离散时域信号。
( X[k] ) 是离散频域信号。
( N ) 是信号的长度。
( k ) 是频域的索引。
( n ) 是时域的索引。

2. 离散傅里叶逆变换（IDFT）

$\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \cdot e^{j \frac{2 \pi k n}{N}}$

其中：

( x[n] ) 是离散时域信号。
( X[k] ) 是离散频域信号。
( N ) 是信号的长度。
( k ) 是频域的索引。
( n ) 是时域的索引.

快速傅里叶变换（FFT）

为了提高傅里叶变换的计算效率，快速傅里叶变换（FFT）算法被广泛应用，它可以大幅度加速离散傅里叶变换（DFT）的计算。

这些变换在信号处理、数据分析、图像处理等领域都扮演了重要的角色。

傅里叶变换在图像分析中扮演着重要的角色，通过将图像从空间域转换到频域，可以进行多种分析和处理。以下是傅里叶变换在图像分析中的一些主要作用和应用：

1. 图像滤波

1.1 高频滤波与低频滤波

低频滤波：通过在频域中抑制高频成分，可以去除图像中的噪声和细节，常用于图像平滑（如高斯模糊）。
高频滤波：通过增强高频成分，可以突出图像的边缘和细节，常用于图像锐化。

1.2 滤波器设计

在频域设计滤波器，如理想低通滤波器、高斯滤波器等，然后在空间域中应用滤波器进行图像处理。

2. 图像压缩

2.1 离散余弦变换（DCT）

在图像压缩中，DCT（如 JPEG 压缩标准）用于将图像数据转换到频域，通过丢弃高频信息来减小数据量，从而实现压缩。

2.2 频域量化

将频域中的图像系数量化以减少数据量，这些系数在压缩过程中可以进行有效编码。

3. 图像恢复与去噪

3.1 去噪

在频域中对图像进行去噪处理，通过抑制或删除噪声频率分量，恢复清晰图像。

3.2 去模糊

对受模糊影响的图像进行频域分析，使用逆滤波或维纳滤波恢复图像细节。

4. 图像特征提取

4.1 边缘检测

通过傅里叶变换分析图像的频率成分，识别图像中的边缘和纹理特征。

4.2 纹理分析

分析图像的频率特性以识别和分类纹理，傅里叶变换可以帮助识别周期性或重复的纹理模式。

5. 图像对齐与配准

5.1 频域配准

使用傅里叶变换进行图像配准，通过计算图像在频域中的相关性来对齐不同的图像。

5.2 图像变换

频域分析可以用于图像的几何变换，如旋转、缩放等，傅里叶变换提供了一种高效的方法来处理这些变换。

6. 图像复原

6.1 复原被损坏的图像

通过频域的处理来修复图像中的损坏或缺失部分，应用傅里叶变换来推测和恢复原始图像信息。

7. 实现示例

以下是使用傅里叶变换进行图像处理的简单示例（Python + NumPy + OpenCV）：

图像低通滤波示例：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 读取图像并转换为灰度图
image = cv2.imread('image.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)# 进行傅里叶变换
f = np.fft.fft2(image)
fshift = np.fft.fftshift(f)# 创建一个低通滤波器
rows, cols = image.shape
crow, ccol = rows // 2, cols // 2
radius = 30
mask = np.ones((rows, cols), np.uint8)
center = [crow, ccol]
x, y = np.ogrid[:rows, :cols]
mask_area = (x - center[0])**2 + (y - center[1])**2 <= radius*radius
mask[mask_area] = 0# 应用滤波器
fshift = fshift * mask
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
img_back = np.abs(img_back)# 显示结果
plt.subplot(121), plt.imshow(image, cmap='gray'), plt.title('Input Image')
plt.subplot(122), plt.imshow(img_back, cmap='gray'), plt.title('Filtered Image')
plt.show()