密码学之RSA算法

2024-08-21 21:20
文章标签 算法 rsa 密码学

本文主要是介绍密码学之RSA算法,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

文章目录

  • 1. RSA算法介绍
    • 1.2 算法历史与发展
    • 1.3 算法应用场景
  • 2. RSA密钥生成
    • 2.1 选择素数
    • 2.2 计算公钥和私钥
    • 2.3 密钥长度与安全性
  • 3 算法原理
    • 3.1 加密原理
    • 3.2 加密方法
    • 3.3 加密示例
    • 3.4 代码实现
  • 4. 总结

1. RSA算法介绍

1.2 算法历史与发展

RSA算法由Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman于1977年提出,得名于他们姓氏的首字母。最初设计用于解决密钥分发问题,现已广泛应用于数据加密、数字签名等。

1976年 Diffie-Hellman密钥交换算法
1977年 RSA算法提出
1983年 MIT申请专利
2000年代 分布式计算和量子计算理论挑战RSA安全性

1.3 算法应用场景

RSA算法广泛应用于:

  • 网络安全:如HTTPS、SSL/TLS协议。
  • 数字签名:确保数据完整性和真实性。
  • 身份认证:网银、VPN等。
  • 电子邮件加密:保障邮件内容安全。

2. RSA密钥生成

2.1 选择素数

在RSA算法中,密钥生成的第一步是选择两个大素数,通常表示为(p)和(q)。这两个素数需要足够大,以确保安全性。素数的选择是随机的,且在实际应用中,它们的位数通常在1024位到2048位之间。

选择素数的过程可以用以下伪代码表示:

def select_primes(length):while True:p = random_prime(length)q = random_prime(length)if p != q:return p, q

在上述伪代码中,random_prime函数用于生成一个指定长度的随机素数。

2.2 计算公钥和私钥

选定 p p p q q q后,接下来的步骤是计算公钥和私钥。

  • 计算模数 n n n:模数 n n n p p p q q q的乘积,即 n = p × q n = p \times q n=p×q。这个值将用于加密和解密过程中的模运算。
  • 计算欧拉函数 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n) ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n)表示小于或等于 n n n的正整数中与 n n n互质的数的个数,计算公式为$phi(n) = (p-1) \times (q-1)$。
  • 选择公钥指数 e e e e e e必须满足 1 < e < ϕ ( n ) 1 < e < \phi(n) 1<e<ϕ(n),并且 e e e ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n)互质。常用的 e e e值包括3和65537。
  • 计算私钥指数 d d d d d d e e e ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n)的乘法逆元,即满足 e × d ≡ 1 ( m o d ϕ ( n ) ) ) e \times d \equiv 1 \pmod{\phi(n)}) e×d1(modϕ(n)))

公钥和私钥的计算可以用以下伪代码表示:

def calculate_keys(p, q, e):n = p * qphi_n = (p - 1) * (q - 1)d = modular_inverse(e, phi_n)return (e, n), (d, n)

2.3 密钥长度与安全性

密钥长度是RSA算法安全性的关键因素。密钥越长,破解的难度越大。目前,一个2048位的RSA密钥被认为是安全的。然而,随着计算能力的提升,密钥长度可能会进一步增加。

密钥长度与安全性的关系可以用以下公式表示:
安全性 ≈ 密钥长度 log ⁡ 2 ( 3 ) \text{安全性} \approx \text{密钥长度}^{\log_2(3)} 安全性密钥长度log2(3)

  • 选择两个大素数 p, q] --> B[计算 n = p * q
  • 计算 φ(n) = (p-1)(q-1)
  • 选择 e,满足 1 < e < φ(n) 且 gcd(e, φ(n)) = 1
  • 计算 d,满足 e * d ≡ 1 (mod φ(n))
  • 公钥 (n, e) 私钥 (n, d)

3 算法原理

3.1 加密原理

RSA加密算法的核心原理基于大数分解的困难性。其安全性依赖于以下数学原理:

  1. 欧拉函数:对于任意正整数 n n n,欧拉函数 φ ( n ) \varphi(n) φ(n) 表示小于或等于 n n n 且与 n n n 互质的正整数的个数。如果 n n n 是两个互质数 p p p 和 $q$ 的乘积,那么 φ ( n ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) \varphi(n) = (p-1)(q-1) φ(n)=(p1)(q1)

  2. 模反元素:对于与 n n n 互质的整数 e e e,存在一个整数 d d d 使得 e d ≡ 1 ( m o d φ ( n ) ) ed \equiv 1 \pmod{\varphi(n)} ed1(modφ(n)) d d d e e e关于模 φ ( n ) \varphi(n) φ(n) 的模反元素。

  3. 欧拉定理:如果 a a a n n n 互质,那么 a φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n} aφ(n)1(modn)

根据以上原理,RSA算法的公钥和私钥可以表示为:

  • 公钥: ( e , n ) (e, n) (e,n),其中 e e e 是加密密钥, n n n是模数。
  • 私钥: ( d , n ) (d, n) (d,n),其中 d d d 是解密密钥。

3.2 加密方法

RSA加密过程可以表示为以下步骤:

  1. 密钥生成:选择两个大质数 p p p q q q,计算 n = p q n = pq n=pq φ ( n ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) \varphi(n) = (p-1)(q-1) φ(n)=(p1)(q1),选择 e e e 使得 1 < e < φ ( n ) 1 < e < \varphi(n) 1<e<φ(n) g c d ( e , φ ( n ) ) = 1 gcd(e, \varphi(n)) = 1 gcd(e,φ(n))=1,计算 d d d 使得 e d ≡ 1 ( m o d φ ( n ) ) ed \equiv 1 \pmod{\varphi(n)} ed1(modφ(n))

  2. 明文转换:将明文 M M M 转换为整数 m m m,满足 0 ≤ m < n 0 \leq m < n 0m<n

  3. 加密过程:使用公钥 ( e , n ) (e, n) (e,n) 加密明文 m m m,计算 c ≡ m e ( m o d n ) c \equiv m^e \pmod{n} cme(modn),其中 c c c 是密文。

3.3 加密示例

假设我们有以下参数:

  • p = 61 p = 61 p=61
  • q = 53 q = 53 q=53
  • n = p × q = 3233 n = p \times q = 3233 n=p×q=3233
  • φ ( n ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) = 3120 \varphi(n) = (p-1)(q-1) = 3120 φ(n)=(p1)(q1)=3120
  • 选择 e = 17 e = 17 e=17(常用的 e e e 值是 65537)
  • 计算 d d d 使得 17 d ≡ 1 ( m o d 3120 ) 17d \equiv 1 \pmod{3120} 17d1(mod3120),假设 d = 2753 d = 2753 d=2753

给定明文 M = 65 M = 65 M=65,转换为整数 m = 65 m = 65 m=65,使用公钥 ( e , n ) = ( 17 , 3233 ) (e, n) = (17, 3233) (e,n)=(17,3233) 加密:

c ≡ m e ( m o d n ) c \equiv m^e \pmod{n} cme(modn)
c ≡ 6 5 17 ( m o d 3233 ) c \equiv 65^{17} \pmod{3233} c6517(mod3233)
c = 2790 c = 2790 c=2790

密文 c c c 为 2790。

3.4 代码实现

以下是使用Python实现RSA加密和解密的示例代码:

import random
from math import gcd# 生成密钥
def generate_keys(p, q):n = p * qphi = (p - 1) * (q - 1)e = random.randrange(2, phi)d = Nonewhile d is None or d >= phi or gcd(d, phi) != 1:k = random.randrange(phi)d = k * e % phiif d == 1:d = k + phireturn ((e, n), (d, n))# 加密函数
def encrypt(m, e, n):return pow(m, e, n)# 解密函数
def decrypt(c, d, n):return pow(c, d, n)# 示例
p = 61
q = 53
(e, n), (d, _) = generate_keys(p, q)
message = 65
encrypted_msg = encrypt(message, e, n)
decrypted_msg = decrypt(encrypted_msg, d, n)print(f"明文: {message}")
print(f"密文: {encrypted_msg}")
print(f"解密后的明文: {decrypted_msg}")

4. 总结

RSA算法以其安全性和广泛的应用在现代密码学中占据重要地位。然而,随着计算能力的提高和量子计算的发展,RSA的安全性可能会受到挑战。未来的加密算法需要在安全性和效率之间找到新的平衡点。

这篇关于密码学之RSA算法的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1094314

相关文章

不懂推荐算法也能设计推荐系统

本文以商业化应用推荐为例,告诉我们不懂推荐算法的产品,也能从产品侧出发, 设计出一款不错的推荐系统。 相信很多新手产品,看到算法二字,多是懵圈的。 什么排序算法、最短路径等都是相对传统的算法(注:传统是指科班出身的产品都会接触过)。但对于推荐算法,多数产品对着网上搜到的资源,都会无从下手。特别当某些推荐算法 和 “AI”扯上关系后,更是加大了理解的难度。 但,不了解推荐算法,就无法做推荐系

康拓展开(hash算法中会用到)

康拓展开是一个全排列到一个自然数的双射(也就是某个全排列与某个自然数一一对应) 公式: X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! 其中,a[i]为整数,并且0<=a[i]<i,1<=i<=n。(a[i]在不同应用中的含义不同); 典型应用: 计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序,也就是说求当前排列是第

csu 1446 Problem J Modified LCS (扩展欧几里得算法的简单应用)

这是一道扩展欧几里得算法的简单应用题,这题是在湖南多校训练赛中队友ac的一道题,在比赛之后请教了队友,然后自己把它a掉 这也是自己独自做扩展欧几里得算法的题目 题意:把题意转变下就变成了:求d1*x - d2*y = f2 - f1的解,很明显用exgcd来解 下面介绍一下exgcd的一些知识点:求ax + by = c的解 一、首先求ax + by = gcd(a,b)的解 这个

综合安防管理平台LntonAIServer视频监控汇聚抖动检测算法优势

LntonAIServer视频质量诊断功能中的抖动检测是一个专门针对视频稳定性进行分析的功能。抖动通常是指视频帧之间的不必要运动,这种运动可能是由于摄像机的移动、传输中的错误或编解码问题导致的。抖动检测对于确保视频内容的平滑性和观看体验至关重要。 优势 1. 提高图像质量 - 清晰度提升:减少抖动,提高图像的清晰度和细节表现力,使得监控画面更加真实可信。 - 细节增强:在低光条件下,抖

【数据结构】——原来排序算法搞懂这些就行,轻松拿捏

前言:快速排序的实现最重要的是找基准值,下面让我们来了解如何实现找基准值 基准值的注释:在快排的过程中,每一次我们要取一个元素作为枢纽值,以这个数字来将序列划分为两部分。 在此我们采用三数取中法,也就是取左端、中间、右端三个数,然后进行排序,将中间数作为枢纽值。 快速排序实现主框架: //快速排序 void QuickSort(int* arr, int left, int rig

poj 3974 and hdu 3068 最长回文串的O(n)解法(Manacher算法)

求一段字符串中的最长回文串。 因为数据量比较大,用原来的O(n^2)会爆。 小白上的O(n^2)解法代码:TLE啦~ #include<stdio.h>#include<string.h>const int Maxn = 1000000;char s[Maxn];int main(){char e[] = {"END"};while(scanf("%s", s) != EO

秋招最新大模型算法面试,熬夜都要肝完它

💥大家在面试大模型LLM这个板块的时候,不知道面试完会不会复盘、总结,做笔记的习惯,这份大模型算法岗面试八股笔记也帮助不少人拿到过offer ✨对于面试大模型算法工程师会有一定的帮助,都附有完整答案,熬夜也要看完,祝大家一臂之力 这份《大模型算法工程师面试题》已经上传CSDN,还有完整版的大模型 AI 学习资料,朋友们如果需要可以微信扫描下方CSDN官方认证二维码免费领取【保证100%免费

dp算法练习题【8】

不同二叉搜索树 96. 不同的二叉搜索树 给你一个整数 n ,求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种?返回满足题意的二叉搜索树的种数。 示例 1: 输入:n = 3输出:5 示例 2: 输入:n = 1输出:1 class Solution {public int numTrees(int n) {int[] dp = new int

Codeforces Round #240 (Div. 2) E分治算法探究1

Codeforces Round #240 (Div. 2) E  http://codeforces.com/contest/415/problem/E 2^n个数,每次操作将其分成2^q份,对于每一份内部的数进行翻转(逆序),每次操作完后输出操作后新序列的逆序对数。 图一:  划分子问题。 图二: 分而治之,=>  合并 。 图三: 回溯:

最大公因数:欧几里得算法

简述         求两个数字 m和n 的最大公因数,假设r是m%n的余数,只要n不等于0,就一直执行 m=n,n=r 举例 以18和12为例 m n r18 % 12 = 612 % 6 = 06 0所以最大公因数为:6 代码实现 #include<iostream>using namespace std;/