利用Matlab求解常微分方程(dsolve与ode45)

2024-08-21 16:12

本文主要是介绍利用Matlab求解常微分方程(dsolve与ode45),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

1.微分方程的基本概念

  • 含义
    微分方程(英语:Differential equation,DE)是一种数学方程,用来描述某一类函数与其导数之间的关系。微分方程的通解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程里,解析解是一个具体的值。 (维基百科)
  • 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。未知函数是一元函数的,叫常微分方程(ODE);未知函数是多元函数的叫做偏微分方程(PDE)。本文只讨论常微分方程。
  • 定义式

2.利用dsolve求解微分方程

  • 方法简介
    启动软件,在命令行窗口运行help dsolve,有如下内容:

    file


    dsolve是用来求常微分方程解析解的函数,如果没有给出初始条件或边界条件,则求出通解;如果有,则求出特解。
  • 函数格式
S = dsolve('eqn', 'name'); %求通解
% eqn: 微分方程
% name: 自变量名,不写默认为tS = dsolve('eqn', 'cond', 'name') %求特解
% eqn: 微分方程
% cond: 限制条件
% name: 变量名,不写默认为tS = dsolve('eqn_1, eqn_2', 'name') %求解微分方程组
% eqn: 微分方程
% cond: 限制条件
% name: 变量名,不写默认为t
  • 举例分析
  • ex1. 求解下列微分方程的通解:
  • sol: 在命令行窗口运行dsolve('Dy=4*x^3','x'):

file

  • ex2. 求上题微分方程在y(0)=6时的特解:
    sol: 在命令行窗口运行dsolve('Dy=4*x^3',y(0)=6,'x'):

file

  • ex3.求解微分方程组:(题目来源)

sol: 在命令行窗口运行[x y] = dsolve('Dx=y,D2y-y=0','x(0)=2,y(0)=1,Dy(0)=1')

file

  • 注意
  1. D表示微分符号,Dn表示n阶微分
  2. 自变量默认为t,其它自变量需要在函数中声明,故例3没有再声明自变量

3.利用ODE求解器求数值解(主要讨论ode45)

  • 简介
    当难以求得一组微分方程的解析解时,可以利用ode求解器求其数值解,Matlab中求微分方程数值解的函数有七个:ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb。这些是Matlab专门用于解微分方程的功能函数。ode求解器有变步长(variable-step)和定步长(fixed-step)两种类型。不同类型有着不同的求解器,其中ode45求解器属于变步长的一种,采用Runge-Kutta算法;其他采用相同算法的变步长求解器还有ode23。
  • 函数格式

    file

  • ode45简介
    在命令行窗口运行help ode45:

file


ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法,它用4阶方法提供候选解,5阶方法控制误差,是一种自适应步长(变步长)的常微分方程数值解法,其整体截断误差为(Δx)^5。解决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。

  • 语法
[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0)
[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
[T,Y,TE,YE,IE] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
sol = ode45(odefun,[t0tf],y0...)
[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0)
% odefun: 函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名
% tspan: 区间 [t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf]
% y0: 初始值向量
% T: 返回列向量的时间点
% Y: 返回对应T的求解列向量
% options: 求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等
% TE: 事件发生时间(在设置了事件参数后的对应输出)
% YE: 事件发生时的答案(在设置了事件参数后的对应输出)
% IE: 事件函数消失时的指针(在设置了事件参数后的对应输出)
  • 举例分析
  • ex1
    在[1,4]区间内求解如下微分方程:

sol:将等式变形,求解代码如下:

odefun = @(t,y) (y + 3  *t) / t^2; %定义函数
tspan = [1 4]; %定义求解区间
y0 = -2; %初值
[t,y] = ode45(odefun, tspan, y0);
plot(t,y) %作图
xlabel('t');
ylabel('Dy');

结果如下

这篇关于利用Matlab求解常微分方程(dsolve与ode45)的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1093641

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