本文主要是介绍证：单位冲激函数（连续）和单位脉冲函数（离散）的拉普拉斯/Z变换 皆为 “1”，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
输入信号 ( x(t) = \delta(t) ) 的拉普拉斯变换为 ( X(s) = 1 ) 是因为单位冲激函数 (\delta(t)) 的拉普拉斯变换有一个特殊且重要的性质。【在离散时间系统中，拉普拉斯变换的离散对应物是Z变换。】
单位冲激函数 (\delta(t)) 的定义
单位冲激函数（Dirac Delta 函数） (\delta(t)) 的定义是：
- (\delta(t)) 在 ( t = 0 ) 处具有无限大值，但在 ( t \neq 0 ) 处为零。
- (\delta(t)) 的面积为 1，即：
∫ − ∞ ∞ δ ( t ) d t = 1 \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, dt = 1 ∫−∞∞δ(t)dt=1
拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换的定义为：
X ( s ) = ∫ 0 ∞ x ( t ) e − s t d t X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st} \, dt X(s)=∫0∞x(t)e−stdt
计算 (\delta(t)) 的拉普拉斯变换
对于 ( x(t) = \delta(t) )，我们将其代入拉普拉斯变换的定义：
X ( s ) = ∫ 0 ∞ δ ( t ) e − s t d t X(s) = \int_{0}^{\infty} \delta(t) e^{-st} \, dt X(s)=∫0∞δ(t)e−stdt
根据单位冲激函数的性质，(\delta(t)) 只有在 ( t = 0 ) 处有值，其值为无限大，但其积分面积为1。由于 (\delta(t)) 仅在 ( t = 0 ) 处有值，积分的上限可以变为 (\epsilon)（(\epsilon) 是一个非常小的正数），所以：
X ( s ) = ∫ 0 ϵ δ ( t ) e − s t d t X(s) = \int_{0}^{\epsilon} \delta(t) e^{-st} \, dt X(s)=∫0ϵδ(t)e−stdt
因为 ( e^{-st} ) 在 ( t = 0 ) 处等于 1（( e^{0} = 1 )），且 (\delta(t)) 在 ( t = 0 ) 处的积分面积为1，所以我们可以将 ( e^{-st} ) 看作一个常数1，提到积分外面：
X ( s ) = e 0 ∫ 0 ϵ δ ( t ) d t X(s) = e^{0} \int_{0}^{\epsilon} \delta(t) \, dt X(s)=e0∫0ϵδ(t)dt
X ( s ) = 1 ⋅ ∫ 0 ϵ δ ( t ) d t X(s) = 1 \cdot \int_{0}^{\epsilon} \delta(t) \, dt X(s)=1⋅∫0ϵδ(t)dt
根据单位冲激函数的定义，(\delta(t)) 的积分面积为1：
X ( s ) = 1 ⋅ 1 X(s) = 1 \cdot 1 X(s)=1⋅1
X ( s ) = 1 X(s) = 1 X(s)=1
因此，单位冲激函数 (\delta(t)) 的拉普拉斯变换为 ( X(s) = 1 )。
这个性质是因为单位冲激函数在时域上具有独特的特性，即在 ( t = 0 ) 处有一个无穷大的值，但其面积为1，所以它的拉普拉斯变换非常简单，就是常数1。
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