prim算法和kruskal算法详解

本文主要是介绍prim算法和kruskal算法详解，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

在我们的数据结构中，当涉及到图的寻找最小的路径时，不得不提到最经典的寻找图的最小生成树的算法：
prim算法和kruskal算法详解。下面笔者将与大家共同探讨一下这两个经典的算法和他们的C++代码实现。
首先我们先看引自百度百科的prim算法的定义：普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。它的算法描述为：
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
下面开始通过一个例子来看看这个图的最小生成树的具体生成过程：
第一步：
初始的顶点集合V={A,B,C,D,E,F,G },Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
列出图的所有的边的信息：
边-----------权值
<A,D> --------5
<C,E> --------5
<D,F> --------6
<B,E> --------7
<A,B> --------7
<B,C> --------8
<E,F> --------8
<D,B> --------9
<E,G> --------9
<F,G> --------11
<D,E> --------15

第二步：
以集合V任意一个顶点为Vnew新顶点集合中的第一个顶点元素,这里哦选顶点D为第一个：
Vnew =｛D ｝
从V中除去顶点D
V={A,B,C,E,F,G }
可知.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一），与顶点D相通的有F，B，A ,E这四个顶点，在这个四个顶点中找到与顶点D距离最近的点，
<A,D> --------5
<D,F> --------6
<D,B> --------9
<D,E> --------15
由上可知是顶点A距离顶点D的权值为5最近，则可从中选出最短的一条边<A,D>放入Enew中，则Enew={<A,D>}，再将顶点A加入Vnew集合中，则
Vnew=｛D,A｝
从V中除去顶点A
V={B,C,E,F,G }
Enew={<A,D>}
得到图：
然后在顶点集合V={B,C,E,F,G }中再找到与 Vnew=｛D,A｝中顶点最近的顶点
<D,F> --------6
<A,B> --------7
<D,B> --------9
<D,E> --------15
可知其中顶点F距离顶点D权值最小，距离最近，那么就将<D,F> --------6加入集合Enew中得到
Enew=｛<A,D>，<D,F>｝
得到图：
、
再将顶点F加入Vnew中，得到
Vnew=｛D,A，F｝
从V中除去顶点F
V={B,C,E,G }
然后在顶点集合V={B,C,E,G }中再找到与 Vnew=｛D,A，F｝中顶点最近的顶点
<A,B> --------7
<E,F> --------8
<D,B> --------9
<F,G> --------11
<D,E> --------15
可知其中顶点B距离顶点A权值最小为6，距离最近，那么就将<A,B>加入集合Enew中得到
Enew=｛<A,D>，<D,F>，<A,B>｝
得到图：

再将顶点B加入Vnew中，得到
Vnew=｛D,A，F，B｝
从V中除去顶点B
V={C,E,G }
然后在顶点集合V={C,E,G }中再找到与 Vnew=｛D,A，F，B｝中顶点最近的顶点
<B,E> --------7
<B,C> --------8
<E,F> --------8
<F,G> --------11
<D,E> --------15
可知其中顶点E距离顶点B权值最小为7，距离最近，那么就将<B,E>加入集合Enew中得到
Enew=｛<A,D>，<D,F>，<A,B>,<B,E>｝
再将顶点E加入Vnew中，得到
Vnew=｛D,A，F，B,E｝
得到图：

从V中除去顶点F
V={C,G }

然后在顶点集合V={C,G }中再找到与 Vnew=｛D,A，F，B,E｝中顶点最近的顶点
<C,E> --------5
<B,C> --------8
<E,G> --------9
<F,G> --------11

可知其中顶点C距离顶点E权值最小为5，距离最近，那么就将<C,E>加入集合Enew中得到
Enew=｛<A,D>，<D,F>，<A,B>,<B,E>,<C,E>｝
得到图：

再将顶点C加入Vnew中，得到
Vnew=｛D,A，F，B,E,C｝

从V中除去顶点C
V={G }
最后从集合V={G }中再找到与 Vnew=｛D,A，F，B,E，C｝中顶点最近的顶点
<E,G> --------9
<F,G> --------11

可知其中顶点G距离顶点E权值最小为9，距离最近，那么就将<E,G>加入集合Enew中得到
Enew=｛<A,D>，<D,F>，<A,B>,<B,E>,<C,E>,<E,G>｝
得到图：

再将顶点G加入Vnew中，得到
Vnew=｛D,A，F，B,E,C,G｝
从V中除去顶点G
V={}至此，所有的顶点都访问完毕，得到prim算法的最小生成图，其所有边为
<A,D>，<D,F>，<A,B>,<B,E>,<C,E>,<E,G>，节点的访问顺序为：
D–>A–>F–>B–>E–>C–>G
在此例中，最小生成树的权值之和为5+6+7+7+5+9 = 39。

下面我们又来看看kruskal算法的基本思路：
首先看kruskal算法的百度百科提供的基本思路：
先构造一个只含 n 个顶点、而边集为空的子图，把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点，之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，即把两棵树合成一棵树，反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直到森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1 条边为止。
算法实现的基本步骤：
第一步：新建图G，G中拥有原图中相同的节点，但没有边；
第二步：将原图中所有的边按权值从小到大排序；
第三步：从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，则添加这条边到图G中；
第四步：重复第三步，直至图G中所有的节点都在同一个连通分量中。

下面我们依旧是以上面的例子来进行对该算法的图解：

第一步：
构造包含所有节点的空图G：

第二步：
对所有的边进行从小到大的 排列：
<A,D> --------5
<C,E> --------5
<D,F> --------6
<B,E> --------7
<A,B> --------7
<B,C> --------8
<E,F> --------8
<D,B> --------9
<E,G> --------9
<F,G> --------11
<D,E> --------15
第三步：从所有边中选出权值最小的边加入图中，可知最小为<A,D>，<C,E>这两条边，这两条边都可以作为我们加入构造的空图中的第一条边，在这里选择 <A,D>这条边即可，得到新的图：

则剩下的边为：
<C,E> --------5
<D,F> --------6
<B,E> --------7
<A,B> --------7
<B,C> --------8
<E,F> --------8
<D,B> --------9
<E,G> --------9
<F,G> --------11
<D,E> --------15
在从中选出最小的边<C,E>，该边满足：这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，那么我们就可以将该边加入新的图得到：

则剩下的边为：
<D,F> --------6
<B,E> --------7
<A,B> --------7
<B,C> --------8
<E,F> --------8
<D,B> --------9
<E,G> --------9
<F,G> --------11
<D,E> --------15
在从中选出最小的边<D,F>，该边满足：这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，那么我们就可以将该边加入新的图得到：

则剩下的边为：
<B,E> --------7
<A,B> --------7
<B,C> --------8
<E,F> --------8
<D,B> --------9
<E,G> --------9
<F,G> --------11
<D,E> --------15
在从中选出最小的边<B,E>，<A,B>这两条边都满足：这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，那么我们就可以选择将其中一条边加入新的图得到，这里选择将<B,E> 加入新的图得到：

则剩下的边为：
<A,B> --------7
<B,C> --------8
<E,F> --------8
<D,B> --------9
<E,G> --------9
<F,G> --------11
<D,E> --------15
在从中选出最小的<A,B>，该边满足：这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中， 加入新的图得到：

则剩下的边为：
<B,C> --------8
<E,F> --------8
<D,B> --------9
<E,G> --------9
<F,G> --------11
<D,E> --------15
在从中选出最小的边<B,C>，<E,F> 由于这两条边的两个顶点都在同一个连通分量上，所以这两条边都不满足：这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，不能加入到图G中，继续下一步 ：
则剩下的边为：
<D,B> --------9
<E,G> --------9
<F,G> --------11
<D,E> --------15
在从中选出最小的边<D,B>，<E,G> ，其中<D,B>两个顶点都在同一个连通分量上，不满足条件，<E,G>则满足：这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，所以将<E,G>加入新的图得到：

则剩下的边为：
<D,B> --------9
<F,G> --------11
<D,E> --------15
经过查看，发现这些边均是两个顶点都在同一个连通分量中，所以均不符合加入到新图的条件，到此，一个完整的图的最小生成树就得到了。最终的图解为：

到此，prim算法和kruskal算法详解的讲解已经完成，剩下就是代码的实现了。至于代码实现的讲解，将在下一个博客文章中讲解。

这篇关于prim算法和kruskal算法详解的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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