hdoj 1003 Max Sum---动态规划，最大子序列求和

本文主要是介绍hdoj 1003 Max Sum---动态规划，最大子序列求和，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

初来乍到，动态规划不会呀，刚开始用暴力法，超时了！超时代码如下：

思路：大致是选中一个数当做结尾，然后加和。例如在6 -1 5 8 -7选中5作为结尾大致有如下序列

6 -1 5

-1 5

就这样遍历所以的结尾，结果超时。代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;#define VALUE 101
#define INF 999999999int D[VALUE];
int n;
int t;
int sum;
int maxSum[VALUE][VALUE]={0};
int  x,y;
int T=1;
int main() {int i, j, k;cin >> n;while (n--) {cin >> t;for (i = 1; i <= t; i++) {cin >> D[i];}for (i = 1; i <= t; i++) { //选那个结束for (j = 1; j <= i; ++j) {  //有多少行sum = 0;for (k = j; k <= i; k++) {  //每一个行有多少个相加sum = sum + D[k];}maxSum[j][i] = sum;}}int max = -INF;for (i = 1; i <= t; i++) {for (j = 1; j <= i; j++) {if (max < maxSum[j][i]) {max = maxSum[j][i];x = j;y = i;}}}cout << "Case " << T << ":" << endl;T++;cout << max << " " << x << " " << y << endl;if (n != 0) {cout << endl;}}
}

在网上搜了代码。大多是只说是动态规划经典问题、求最大子序列和，终于算是有了眉目想通了。

对于整个序列a[n]来说，它的所有子序列有很多很多，但是可以将它们归类。

注意，是以**结尾的子序列，其中肯定是要包含**的了

以a[0]结尾的子序列只有a[0]

以a[1]结尾的子序列有 a[0]a[1]和a[1]

以a[2]结尾的子序列有 a[0]a[1]a[2] / a[1]a[2] / a[2]

……

以a[i]结尾的子序列有a[0]a[1]……a[i-2]a[i-1]a[i] / a[1]a[2]……a[i-2]a[i-1]a[i] / a[2]a[3]……a[i-2]a[i-1]a[I] / …… / a[i-1]a[i] / a[i]

所有以a[0] ~a[n]结尾的子序列分组构成了整个序列的所有子序列。

这样，我们只需求以a[0]~a[n]结尾的这些分组的子序列中的每一分组的最大子序列和。然后从n个分组最大子序列和中选出整个序列的最大子序列和。

观察可以发现，0，1，2，……，n结尾的分组中，

maxsum a[0] = a[0]

maxsum a[1] = max( a[0] + a[1] ，a[1]) = max( maxsum a[0] + a[1] ，a[1])

maxsum a[2] = max( max ( a[0] + a[1] + a[2]，a[1] + a[2] )，a[2])

= max( max( a[0] + a[1] ，a[1]) + a[2] ， a[2])

= max( maxsum a[1] + a[2] ， a[2])

……

依此类推，可以得出通用的式子。

maxsum a[i] = max（ maxsum a[i-1] + a[i]，a[i])

最大子段和：给定一个序列（元素可正可负），找出其子序列中元素和最大的值。

我们用dp（i）表示序列中以元素ans（i）结尾的序列的最大子段和，那么有：dp（i）=max（dp（i-1）+ans（i），ans（i））；

首先来看一道比较基础的最大子段和问题--HDOJ 1003 Max Sum:

#define INF 999999999
int solve(int ans[],int n)  
{  dp[0]=0;  int nmax=-INF;  for(int i=1;i<=n;i++)  {  dp[i]=max(dp[i-1]+ans[i],ans[i]);  nmax=max(nmax,dp[i]);  }  return nmax;  
}

题目大意：给定一个序列，让求出此序列的最大子段和，并输出该子序列在原序列中的位置。

这里我们用变量sum来代替dp（）数组，如果sum+a(i)<a(i)，就更新sum的值，并重新纪录head的值，如果sum+a(i)>=a(i)，则只需更新sum的值；

代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
using namespace std;#define  MAX 100005
int n;
int t;
int a[MAX]={0};
int main() {int i, j, k;cin >> t;int head, tail;int sum, max;int x;int T = 0;while (t--) {T++;cin >> n;for (i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];}head = tail = x = 1;sum = max = a[1];for (i = 2; i <= n; i++) {if (sum + a[i] < a[i]) {   //重新定义开始的头x = i;sum = a[I];  //会导致sum大于max} else {sum = sum + a[i];}if (sum > max) {  //一般sum和max相等，sum大于max，说明加到一个正数。或者上一次循环中sum等于max，更新head和tail。max = sum;tail = i;head = x;}}cout << "Case " << T << ":" << endl << max << " " << head << " " << tail << endl;if (t) {cout << endl;}}
}

其他人代码：

    #include <iostream>  using namespace std;  int main()  {  int j,i,k,n,m,t;  int a[100002];  scanf("%d",&t);  for (j=1;j<=t;j++)  {  scanf("%d",&n);  for (i=0;i<n;i++)  {  scanf("%d",&a[i]);  }  int sum=0,maxsum=-1001,first =0, last = 0, temp = 1;  for (i=0;i<n;i++)  {  sum += a[i];  if (sum > maxsum)  {  maxsum = sum;first = temp;last = i+1;  }  if (sum < 0)  {  sum = 0;temp = i+2;  }  }  printf("Case %d:\n%d %d %d\n",j,maxsum,first,last);  if (j!=t)  {  printf("\n");  }  }  return 0;  }

对于整个序列a[n]来说，它的所有子序列有很多很多，但是可以将它们归类。

注意，是以**结尾的子序列，其中肯定是要包含**的了

以a[0]结尾的子序列只有a[0]

以a[1]结尾的子序列有 a[0]a[1]和a[1]

以a[2]结尾的子序列有 a[0]a[1]a[2] / a[1]a[2] / a[2]

……

以a[i]结尾的子序列有a[0]a[1]……a[i-2]a[i-1]a[i] / a[1]a[2]……a[i-2]a[i-1]a[i] / a[2]a[3]……a[i-2]a[i-1]a[i] / …… / a[i-1]a[i] / a[i]

所有以a[0] ~a[n]结尾的子序列分组构成了整个序列的所有子序列。

这样，我们只需求以a[0]~a[n]结尾的这些分组的子序列中的每一分组的最大子序列和。然后从n个分组最大子序列和中选出整个序列的最大子序列和。

观察可以发现，0，1，2，……，n结尾的分组中，

maxsum a[0] = a[0]

maxsum a[1] = max( a[0] + a[1] ，a[1]) = max( maxsum a[0] + a[1] ，a[1])

maxsum a[2] = max( max ( a[0] + a[1] + a[2]，a[1] + a[2] )，a[2])

= max( max( a[0] + a[1] ，a[1]) + a[2] ， a[2])

= max( maxsum a[1] + a[2] ， a[2])

……

依此类推，可以得出通用的式子。

maxsum a[i] = max（ maxsum a[i-1] + a[i]，a[i])

用递归……当然，不递归也应该是可以解决的。

我们从maxsum a[0]开始算起。

以后的每个就是 maxsum a[i-1] + a[i] 和 a[i] 中取大的那个。

程序中判断前一个的最大子序列和小于零时，将其置为0，然后再加a[i] ，这样不就是和a[i] 一样大的么；前一个的最大子序列和只要大于零，那么再加上a[i] 肯定比 a[i] 要大，这样，带有归零的这个 maxsum a[i-1] + a[i] 就是以表示当前位置结束的子序列的最大和了。

剩下的就是要判断起始和终点位置了。

在循环的过程中，每循环一次就算出一个以当前位置结束的最大子序列和。每次循环中最大的那个保存下来，不就是最终所有最大子序列和中的最大值了么。

其中temp保存的是前一个位置的最大子序列和的开始位置（题目中是从1开始的哦）；当 sum > maxsum 时（程序中的条件，与说明时的maxsum不太一样哦）就记录最大值，并保持它的开始位置为temp，终止位置即为当前位置（i +1是因为题目中第一个为1，而不是0）；

当最大子序列和小于0时，将 temp = i + 2；其中 i + 1 表示当前位置（理由如上），i + 2就表示当前位置的下一个位置了。既此最大子序列和为负值，那么下一个的最大子序列和应该是它本身，而不再累加前边的。

程序中就两个if 语句，想要说明白还真不容易。

还有，有人会问，当整个序列全是负数时，还对吗？负数也是成立的，如果全是负数的时候，它就是每次都只取当前值作为最大值了，因为负的跟负的不就越加越小了吗。

因为题目中给出的范围是-1000 ～1000，所以这里初始的maxsum 初始化为-1001 ，只有比所有可能的值都小时才行。maxsum初始化为0；那么当序列全是负数时，得出的最大值将是0……这就wrong了

总之，只要上一个子序列最大和为正，那么无论当前值的正负，都会与当前的相加，这样以当前值结尾的子序列最大和就会增大。（一个正数加一个正数2 或者负数那么都会比这个正数2 或负数原来要增大，同理，一个负数加任何一个数，都会使这个数减小，因此当前一子序列最大和小于零时，我们就归零它了，相当于是不加任何数，而保留当前位置值本身）

内存优化版：

理解了以上思想后，观察上一个代码我们发现，那个a[10000]基本上就没用啊，保存了一些输入数据，可是那些数据只用了一次就没用了。输入数据的for循环和处理数据的for循环是一模一样的，而且处理数据也只是用到当前输入的数据。

于是，数组也可以省去了，直接将两个循环合并。输入一个数据，直接累加……省下不少空间哦。

 1     #include <iostream>  
 2     using namespace std;  
 3     int main()  
 4     {  
 5         int j,i,k,n,m,t;  
 6         int a;  //不需要数组，只需要一个输入变量
 7         scanf("%d",&t);  
 8         for (j=1;j<=t;j++)  
 9         {  
10             scanf("%d",&n);  
11             int sum=0,maxsum=-1001,first =0, last = 0, temp = 1;  
12             for (i=0;i<n;i++)  
13             {  
14                 scanf("%d",&a); 
15                 sum += a;  
16                 if (sum > maxsum)  
17                 {  
18                     maxsum = sum;first = temp;last = i+1;  
19                 }  
20                 if (sum < 0)  
21                 {  
22                     sum = 0;temp = i+2;  
23                 }  
24             }  
25       //注意格式，我就因为将冒号写到了数的前边而wrong answer，郁闷半天才发现……
26             printf("Case %d:\n%d %d %d\n",j,maxsum,first,last);  
27             if (j!=t)  
28             {  
29                 printf("\n");  
30             }  
31         }  
32           
33         return 0;  
34     }