Pick定理 有趣的证明

2024-06-13 04:38
文章标签 定理 有趣 证明 pick

本文主要是介绍Pick定理 有趣的证明,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

Pick定理:如果一个简单多边形(以下称为“多边形”)的每个顶点都是直角坐标平面上的格点,则称该多边形为格点多边形.若一个面积为S的格点多边形,其边界上有a个格点,内部有b个格点,则Sa/2+b-1.

强迫孩子们接受无法说出道理的东西,很容易打击孩子们的求知欲望和学习兴趣.我经过反复琢磨,找到一个非常浅显的办法,既能够形象的解释Pick定理的道理,又能让看清Pick定理的本质.整个解释只需用到一个很浅显的预备知识:“多边形外角和等于一个周角”.

以下图的格点多边形ABCDE为例,其边界上有a个格点,内部有b个格点.

设想在平面的每个格点放一个铁饼,满足:

(1)每个铁饼都一样大的圆(或者说是圆柱),圆心是格点;

(2)每个铁饼都恰好重1克;

(3)每个铁饼的半径都做得尽量小——不仅铁饼之间互相不重叠,而且还使得多边形ABCDE内部的每个格点上所放的铁饼,都完全落在该多边形的内部;多边形ABCDE外部的每个格点上所放的铁饼,都完全落在该多边形的外部.

格点多边形面积公式(Pick定理)的一个形象解释

首先,考虑多边形ABCDE的边界以内的铁的总重.

这可以分如下两类进行计算: 第一类:其内部格点上放的铁饼.此类总重显然是b克.第二类:其边界格点上放的铁饼落在边界以内的铁.假设每个边界格点上放的铁饼,恰有一半落在边界以内,则总重为a/2克.但显然在每个顶点处放的铁饼,落在边界以内的铁实际不足一半,比一半还少该顶点的一个外角内所含的铁,所有这种外角内所含的铁恰好拼成一块完整的铁饼(因为多边形外角和等于一个周角).所以后一类铁的总重是a/2-1克.

因而,多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是a/2+b-1克.

接下来,设想将平面上所有铁饼全部熔化,打造成一张厚薄均匀的铁板盖在整个平面上.这可以看作是:将每个单位正方形的四个顶点处的每个90°的扇形铁饼,熔化在这个正方形内部,故熔化后每个单位正方形内的铁都是1克.进而,平面上任意图形,其面积是多少,其内部就含多少克铁.

因而,熔化并重新打造后,多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是S克.

最后,注意到这个熔化并重新打造的过程,可以看成是:每个格点处的铁饼中的铁,按(以该格点为中心)放射状的方式重新适当改动位置而已.这样的改动,不会使格点多边形ABCDE外面的铁跑到多边形内部,也不会使内部的铁跑到外部.

即熔化并重新打造的前后,多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是不变的,所以Sa/2+b-1

这篇关于Pick定理 有趣的证明的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1056303

相关文章

uva 1342 欧拉定理(计算几何模板)

题意: 给几个点,把这几个点用直线连起来,求这些直线把平面分成了几个。 解析: 欧拉定理: 顶点数 + 面数 - 边数= 2。 代码: #include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cmath>#inc

nudepy,一个有趣的 Python 库!

更多资料获取 📚 个人网站:ipengtao.com 大家好,今天为大家分享一个有趣的 Python 库 - nudepy。 Github地址:https://github.com/hhatto/nude.py 在图像处理和计算机视觉应用中,检测图像中的不适当内容(例如裸露图像)是一个重要的任务。nudepy 是一个基于 Python 的库,专门用于检测图像中的不适当内容。该

Java验证辛钦大数定理

本实验通过程序模拟采集大量的样本数据来验证辛钦大数定理。   实验环境: 本实验采用Java语言编程,开发环境为Eclipse,图像生成使用JFreeChart类。   一,验证辛钦大数定理 由辛钦大数定理描述为: 辛钦大数定理(弱大数定理)  设随机变量序列 X1, X2, … 相互独立,服从同一分布,具有数学期望E(Xi) = μ, i = 1, 2, …, 则对于任意正数ε ,

CPC23三 K.(Lucas定理)

K.喵喵的神·数 Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 128 MB Description 喵喵对组合数比较感兴趣,并且对计算组合数非常在行。同时为了追求有后宫的素质的生活,喵喵每天都要研究质数。 我们先来复习一下什么叫做组合数。对于正整数P、T 然后我们再来复习一下什么叫质数。质数就是素数,如果说正整数N的约数只有1和它本身,N

高级数据结构设计--并查集及实现学习笔记(有趣篇)

并查集的程序设计: 为了解释并查集的原理,我将举一个更有趣的例子。 话说江湖上散落着各式各样的大侠,有上千个之多。他们没有什么正当职业,整天背着剑在外面走来走去,碰到和自己不是一路人的,就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气,绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”,只要是能通过朋友关系串联起来的,不管拐了多少个弯,都认为是自己人。这样一来,江湖上就形

Unity数据持久化 之 一个通过2进制读取Excel并存储的轮子(2) (*****生成数据结构类的方式特别有趣****)

本文仅作笔记学习和分享,不用做任何商业用途 本文包括但不限于unity官方手册,unity唐老狮等教程知识,如有不足还请斧正​​ Unity数据持久化 之 一个通过2进制读取Excel并存储的轮子(1)-CSDN博客 本节内容 实现目标 通过已经得到的Excel表格数据,生成对应类对象(不赋值),一张表就是一个对象,其中包含了如下的字段  就像这样子  实现思路 上

有趣的手机端见缝插针游戏源码

有趣的手机端见缝插针游戏源码下载,注:本地预览请用火狐浏览器模拟移动端,chrome本地预览存在跨域问题。 微信扫码获取源码

发现个有趣的东西:Tweetable Mathematical Art(用三个140字符以内的函数生成一个1024尺寸的图片)

发现 我是在看《构建之法》这本书时,看到作者提到这个: 好厉害!用三段140字符以内的代码生成一张1024×1024的图片_IT新闻_博客园 这是2014年一个人在 Code Golf Stack Exchange (a question and answer site for programming puzzle enthusiasts and code golfers) 发起的编程挑战:

云服务器如何提升你的创意生活:必试有趣项目

云服务器都可以做哪些有趣的项目 云服务器因其高效、灵活和可扩展等特点,成为了越来越多人选择的开发和学习平台。如果你拥有一台云服务器,但是不知道能用它做什么有趣的项目,那么这篇文章将为你提供一些有意思的想法。 1. 个人博客/网站 一个个人博客或网站无疑是云服务器的经典用途之一。你可以使用诸如WordPress、Hexo、Ghost等博客框架来创建属于自己的网站,分享知识和生活。 示例项目

量化交易面试:什么是中心极限定理?

中心极限定理(Central Limit Theorem, CLT)是概率论和统计学中的一个重要定理,它描述了在一定条件下,独立随机变量的和的分布趋向于正态分布的性质。这个定理在量化交易和金融分析中具有重要的应用价值。以下是对中心极限定理的详细解释: 基本概念: 中心极限定理指出,当我们从一个具有任意分布的总体中抽取足够大的样本时,样本均值的分布将近似于正态分布,无论原始总体的分布是什么样的。