本文主要是介绍SDAU暑假训练第二天----------数论（2）（2018/7/31），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
今天上午还是看数论，下午有场练习赛，A了四个题，不是很难，个别题有点难想，比如逆向思维那个，另外读题能力很重要！！
目录
同余
同余式基本概念
同余的运算性质：
剩余类（只整理基础，复杂的剩余环涉及到了近世代数理论）
费马小定理
欧拉定理
1.欧拉函数的线性筛法（类比素数的线性筛法）
2.欧拉线性筛法求素数
同余
同余式基本概念
设m是大于1的正整数，a、b是整数，如果(a-b)|m，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a与b对模m同余。
显然,有以下事实
（1）若a≡0(mod m)，则a|m；
（2）a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同。
同余的运算性质：
1.反身性：a≡a (mod m)；
2.对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)；
3.传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；
4.同余式相加/减：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)；a-c≡b-d(mod m)；
5.同余式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
6.线性运算：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，那么
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)；
(2)a * c ≡ b * d (mod m)。
除法：若 
，则 
，其中gcd(c,m)表示c和m的最大公约数，
特殊地， 
则 
；
8.幂运算：如果 
，那么 
；
9.若 ，n=m，则 
；
10.若 
，(i=1,2...n) 则 
，其中 
表示m1,m2,...mn的最小公倍数。
剩余类（只整理基础，复杂的剩余环涉及到了近世代数理论）
剩余类，设模为n，则根据余数可将所有的整数分为n类，把所有与整数a模n同余的整数构成的集合叫做模n的一个剩余类，记作[a]。并把a叫作剩余类[a]的一个代表元。
一个整数被正整数n除后，余数有n种情形：0，1，2，3，…，n-1，它们彼此对模n不同余。这表明，每个整数恰与这n个整数中某一个对模n同余。这样一来，按模n是否同余对整数集进行分类，可以将整数集分成n个两两不相交的子集。我们把（所有）对模n同余的整数构成的一个集合叫做模n的一个剩余类。每一个整数必包含在而且仅包含在上述一个集合里。②两个整数同在一个集合的充分必要条件是它们对模□同余。
剩余类的相关运算性质
交换律：([a]+[b])+[c]=[a]+([b]+[c])
交换律：[a]+[b]=[b]+[a]
分配率：[a]([b]+[c])=[a][b]+[a][c]
此外加减法：[a]+[0]=[0]+[a]=[a] 乘法： [a][0]=[0][a]=[0] [0]叫做零元 [a][1]=[1][a]=[a] [1]叫做单位元
费马小定理
假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p），例如：假如a是整数，p是质数，则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1)，那么我们可以得到费马小定理的一个特例，即当p为质数时候， a^(p-1)≡1(mod p)。
例题1：https://blog.csdn.net/zcy_2016/article/details/55054146
例题2：利用费马小定理计算
除以13的余数
欧拉定理
欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:
（对于正整数N，代表小于等于N的与N互质的数的个数，记作φ(N)）
1.欧拉函数的线性筛法（类比素数的线性筛法）
线性时间内求出1~N的所有φ 有以下三条性质：
①：φ(p)=p-1
②：φ(p*i)=p*φ(i) （当p%i==0时）
③：φ(p*i)=(p-1)*φ(i) (当p%i!=0时)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int prime[100001],mark[1000001];//prime是素数数组，mark为标记不是素数的数组
int tot,phi[100001];//phi为φ(),tot为1~i现求出的素数个数
void getphi(int N){phi[1]=1;//φ(1)=1for(int i=2;i<=N;i++){//从2枚举到Nif(!mark[i]){//如果是素数prime[++tot]=i;//那么进素数数组，指针加1phi[i]=i-1;//根据性质1所得}for(int j=1;j<=tot;j++){//从现求出素数枚举if(i*prime[j]>N) break;//如果超出了所求范围就没有意义了mark[i*prime[j]]=1;//标记i*prime[j]不是素数if(i%prime[j]==0){//应用性质2phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//应用性质3}}
}
int N;
int main(){cin>>N;getphi(N);for(int i=1;i<=N;i++){cout<<i<<":phi ( "<<phi[i]<<" )"<<endl;//输出phi(i)}
}
2.欧拉线性筛法求素数
求素数原来的经典埃拉特斯特尼筛法：时间复杂度为O(n loglog n)
void GetEven()
{int t=sqrt(N);for(int i=3; i<=t;i++){if(prime[i])for(int j=i*i; j <= N; j+=i)//筛掉i的倍数 prime[j]=false;}
欧拉线性筛法
const int MAXN=3000001;
int prime[MAXN];//保存素数
bool vis[MAXN];//初始化
int Prime(int n)
{int cnt=0;memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=2;i<n;i++){if(!vis[i])prime[cnt++]=i;for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++){vis[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0)//关键 break;}}return cnt;//返回小于n的素数的个数
}
这篇关于SDAU暑假训练第二天----------数论（2）（2018/7/31）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
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