深入理解交叉熵损失CrossEntropyLoss - 乘积符号在似然函数中的应用

本文主要是介绍深入理解交叉熵损失CrossEntropyLoss - 乘积符号在似然函数中的应用,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

深入理解交叉熵损失CrossEntropyLoss - 乘积符号在似然函数中的应用

flyfish

乘积符号prod,通常写作 ∏ \prod ,它类似于求和符号 ∑ \sum ,但它表示的是连续乘积。我们来看一下这个符号的具体用法和例子。

乘积符号 ∏ \prod

乘积符号 ∏ \prod 用于表示一系列数的乘积。其具体形式如下:

∏ i = 1 n a i \prod_{i=1}^{n} a_i i=1nai

这个表达式表示从 i = 1 i = 1 i=1 i = n i = n i=n 的所有 a i a_i ai 的乘积。更具体地说:

∏ i = 1 n a i = a 1 ⋅ a 2 ⋅ a 3 ⋅ … ⋅ a n \prod_{i=1}^{n} a_i = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n i=1nai=a1a2a3an

例子
  1. 简单乘积
    ∏ i = 1 4 i = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24 \prod_{i=1}^{4} i = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 i=14i=1234=24
  2. 带常数因子的乘积
    ∏ i = 1 3 ( 2 i ) = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 = 48 \prod_{i=1}^{3} (2i) = 2 \cdot 4 \cdot 6 = 48 i=13(2i)=246=48
  3. 概率的乘积
    假设有一组独立的随机变量 X 1 , X 2 , … , X n X_1, X_2, \ldots, X_n X1,X2,,Xn,每个变量的概率为 P ( X i ) P(X_i) P(Xi),那么:
    ∏ i = 1 n P ( X i ) \prod_{i=1}^{n} P(X_i) i=1nP(Xi)
    表示所有这些变量的联合概率。

乘积符号在似然函数中的应用

在统计学和机器学习中,乘积符号 ∏ \prod 常用于定义似然函数,特别是在处理独立同分布(i.i.d.)数据时。

似然函数的定义

假设我们有一个参数化的概率模型 P ( X ∣ θ ) P(X|\theta) P(Xθ),其中 θ \theta θ 是模型的参数, X X X 是观测数据。如果我们有独立同分布的数据集 { x 1 , x 2 , … , x n } \{x_1, x_2, \ldots, x_n\} {x1,x2,,xn},那么似然函数 L ( θ ∣ X ) L(\theta | X) L(θX) 是各数据点概率的乘积:

L ( θ ∣ X ) = ∏ i = 1 n P ( x i ∣ θ ) L(\theta | X) = \prod_{i=1}^{n} P(x_i|\theta) L(θX)=i=1nP(xiθ)

这里的 ∏ i = 1 n \prod_{i=1}^{n} i=1n 表示从 i = 1 i=1 i=1 i = n i=n i=n 的所有 P ( x i ∣ θ ) P(x_i|\theta) P(xiθ) 的乘积。

具体例子

假设我们有一组二项分布数据,每个数据点的概率为 P ( x i ∣ p ) = p x i ( 1 − p ) 1 − x i P(x_i|p) = p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} P(xip)=pxi(1p)1xi,其中 p p p 是硬币正面朝上的概率, x i x_i xi 表示第 i i i 次投掷的结果(1 表示正面,0 表示反面)。那么,对于 n n n 次投掷,似然函数可以写成:

L ( p ∣ X ) = ∏ i = 1 n P ( x i ∣ p ) = ∏ i = 1 n p x i ( 1 − p ) 1 − x i L(p | X) = \prod_{i=1}^{n} P(x_i|p) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} L(pX)=i=1nP(xip)=i=1npxi(1p)1xi

对数似然函数

为了简化计算,通常对似然函数取对数,得到对数似然函数:

log ⁡ L ( p ∣ X ) = log ⁡ ( ∏ i = 1 n p x i ( 1 − p ) 1 − x i ) = ∑ i = 1 n log ⁡ ( p x i ( 1 − p ) 1 − x i ) = ∑ i = 1 n ( x i log ⁡ ( p ) + ( 1 − x i ) log ⁡ ( 1 − p ) ) \log L(p | X) = \log \left( \prod_{i=1}^{n} p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} \right) = \sum_{i=1}^{n} \log \left( p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} \right) = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i \log(p) + (1 - x_i) \log(1 - p) \right) logL(pX)=log(i=1npxi(1p)1xi)=i=1nlog(pxi(1p)1xi)=i=1n(xilog(p)+(1xi)log(1p))

乘积符号 ∏ \prod 用于表示一系列数的连续乘积。在最大似然估计和许多其他统计应用中,它被用来计算独立同分布数据的联合概率。

这篇关于深入理解交叉熵损失CrossEntropyLoss - 乘积符号在似然函数中的应用的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1045276

相关文章

Python中随机休眠技术原理与应用详解

《Python中随机休眠技术原理与应用详解》在编程中,让程序暂停执行特定时间是常见需求,当需要引入不确定性时,随机休眠就成为关键技巧,下面我们就来看看Python中随机休眠技术的具体实现与应用吧... 目录引言一、实现原理与基础方法1.1 核心函数解析1.2 基础实现模板1.3 整数版实现二、典型应用场景2

Python Dash框架在数据可视化仪表板中的应用与实践记录

《PythonDash框架在数据可视化仪表板中的应用与实践记录》Python的PlotlyDash库提供了一种简便且强大的方式来构建和展示互动式数据仪表板,本篇文章将深入探讨如何使用Dash设计一... 目录python Dash框架在数据可视化仪表板中的应用与实践1. 什么是Plotly Dash?1.1

Android Kotlin 高阶函数详解及其在协程中的应用小结

《AndroidKotlin高阶函数详解及其在协程中的应用小结》高阶函数是Kotlin中的一个重要特性,它能够将函数作为一等公民(First-ClassCitizen),使得代码更加简洁、灵活和可... 目录1. 引言2. 什么是高阶函数?3. 高阶函数的基础用法3.1 传递函数作为参数3.2 Lambda

Java中&和&&以及|和||的区别、应用场景和代码示例

《Java中&和&&以及|和||的区别、应用场景和代码示例》:本文主要介绍Java中的逻辑运算符&、&&、|和||的区别,包括它们在布尔和整数类型上的应用,文中通过代码介绍的非常详细,需要的朋友可... 目录前言1. & 和 &&代码示例2. | 和 ||代码示例3. 为什么要使用 & 和 | 而不是总是使

C++中::SHCreateDirectoryEx函数使用方法

《C++中::SHCreateDirectoryEx函数使用方法》::SHCreateDirectoryEx用于创建多级目录,类似于mkdir-p命令,本文主要介绍了C++中::SHCreateDir... 目录1. 函数原型与依赖项2. 基本使用示例示例 1:创建单层目录示例 2:创建多级目录3. 关键注

Python循环缓冲区的应用详解

《Python循环缓冲区的应用详解》循环缓冲区是一个线性缓冲区,逻辑上被视为一个循环的结构,本文主要为大家介绍了Python中循环缓冲区的相关应用,有兴趣的小伙伴可以了解一下... 目录什么是循环缓冲区循环缓冲区的结构python中的循环缓冲区实现运行循环缓冲区循环缓冲区的优势应用案例Python中的实现库

SpringBoot整合MybatisPlus的基本应用指南

《SpringBoot整合MybatisPlus的基本应用指南》MyBatis-Plus,简称MP,是一个MyBatis的增强工具,在MyBatis的基础上只做增强不做改变,下面小编就来和大家介绍一下... 目录一、MyBATisPlus简介二、SpringBoot整合MybatisPlus1、创建数据库和

C++中函数模板与类模板的简单使用及区别介绍

《C++中函数模板与类模板的简单使用及区别介绍》这篇文章介绍了C++中的模板机制,包括函数模板和类模板的概念、语法和实际应用,函数模板通过类型参数实现泛型操作,而类模板允许创建可处理多种数据类型的类,... 目录一、函数模板定义语法真实示例二、类模板三、关键区别四、注意事项 ‌在C++中,模板是实现泛型编程

kotlin的函数forEach示例详解

《kotlin的函数forEach示例详解》在Kotlin中,forEach是一个高阶函数,用于遍历集合中的每个元素并对其执行指定的操作,它的核心特点是简洁、函数式,适用于需要遍历集合且无需返回值的场... 目录一、基本用法1️⃣ 遍历集合2️⃣ 遍历数组3️⃣ 遍历 Map二、与 for 循环的区别三、高

一文带你深入了解Python中的GeneratorExit异常处理

《一文带你深入了解Python中的GeneratorExit异常处理》GeneratorExit是Python内置的异常,当生成器或协程被强制关闭时,Python解释器会向其发送这个异常,下面我们来看... 目录GeneratorExit:协程世界的死亡通知书什么是GeneratorExit实际中的问题案例