深入理解交叉熵损失CrossEntropyLoss - 乘积符号在似然函数中的应用

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深入理解交叉熵损失CrossEntropyLoss - 乘积符号在似然函数中的应用

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乘积符号prod，通常写作 $\prod$ ，它类似于求和符号 $\sum$ ，但它表示的是连续乘积。我们来看一下这个符号的具体用法和例子。

乘积符号 $\prod$

乘积符号 $\prod$ 用于表示一系列数的乘积。其具体形式如下：

$\prod_{i=1}^{n} a_i$

这个表达式表示从 $i = 1$ 到 $i = n$ 的所有 $a_i$ 的乘积。更具体地说：

$\prod_{i=1}^{n} a_i = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n$

例子

简单乘积：
$\prod_{i=1}^{4} i = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
带常数因子的乘积：
$\prod_{i=1}^{3} (2i) = 2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$
概率的乘积：
假设有一组独立的随机变量 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ ，每个变量的概率为 $P(X_i)$ ，那么：
$\prod_{i=1}^{n} P(X_i)$
表示所有这些变量的联合概率。

乘积符号在似然函数中的应用

在统计学和机器学习中，乘积符号 $\prod$ 常用于定义似然函数，特别是在处理独立同分布（i.i.d.）数据时。

似然函数的定义

假设我们有一个参数化的概率模型 $P(X|\theta)$ ，其中 $\theta$ 是模型的参数， $X$ 是观测数据。如果我们有独立同分布的数据集 $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ ，那么似然函数 $L(\theta | X)$ 是各数据点概率的乘积：

$L(\theta | X) = \prod_{i=1}^{n} P(x_i|\theta)$

这里的 $\prod_{i=1}^{n}$ 表示从 $i = 1$ 到 $i = n$ 的所有 $P(x_i|\theta)$ 的乘积。

具体例子

假设我们有一组二项分布数据，每个数据点的概率为 $P(x_i|p) = p^{x_i} (1-p)^{1-x_i}$ ，其中 $p$ 是硬币正面朝上的概率， $x_i$ 表示第 $i$ 次投掷的结果（1 表示正面，0 表示反面）。那么，对于 $n$ 次投掷，似然函数可以写成：

$\prod_{i=1}^{n} P(x_i|p) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i} (1-p)^{1-x_i}$

对数似然函数

为了简化计算，通常对似然函数取对数，得到对数似然函数：

$\log L(p | X) = \log \left( \prod_{i=1}^{n} p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} \right) = \sum_{i=1}^{n} \log \left( p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} \right) = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i \log(p) + (1 - x_i) \log(1 - p) \right)$