本文主要是介绍从零开始学统计 04 | 协方差与相关性分析,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
一、老板的任务
老板今天又给一个任务:
计算肝脏细胞中 X 基因与 Y 基因的关系。
现在,两个基因在各个细胞中的表达值都有了。
绘制不同细胞中 X,Y 基因的表达值在坐标轴上。
计算 X 基因和 Y 基因在5个细胞中的均值,标准差。
因为这些测量值都是来自同一个细胞,所以我们可以成对来看:
那么这样成对的测量可以告诉我们哪些信息呢?
现在,先将一对细胞连接,绘制一个点
绘制完成,我们发现,X 基因相对较低的细胞对应的 Y 基因的值也较低,两个基因出现步调一致的表达情况,这可以用一条线来表示:
不难看到,这条线是正斜率,代表着细胞中的 X 基因表达高,Y基因同样会表达高,同样表达低也会出现相同的情况。说明两基因具有正趋势关系
来看一个相反的情况:
上图中的线为负斜率,告诉我们细胞中的 X 基因表达高,Y基因会表达低,出现相反的表达情况。说明两基因具有负趋势关系
第三种情况是,一个基因相对另一个基因,并没有显著变化。说明两基因无趋势关系:
我们现在总结出 X 基因相对 Y 基因的关系有以上三种情况:
- 正趋势关系
- 负趋势关系
- 无趋势关系
二、协方差
为了去说明 X 基因相对 Y 基因的趋势关系,我们需要一个数学上的解释:
首先计算 X基因与 Y 基因的均值
现在计算一个点的与两基因均值的差值:
将值代入计算:(3-17.6)x(12-24.4)= -14.6 x -12.4 = 181
如果将五个点都计算一遍,得到:
现在可以计算**协方差(Covariance)**了:
会发现:
这些点所在象限,最终的值都为正值,也就是说这五个点对总协方差的贡献都是正值。
协方差值为正,斜率为正,这告诉我们当协方差为正时,就可以将二者的关系分类为正趋势。如果协方差为负,则相反。
协方差的优缺点
但是,协方差值并不能告诉我们表示关系的直线的斜率是陡峭还是平缓,而且也不能反应点距离线是远还是近。协方差唯一能告诉我们的是关系的斜率为正还是负。
但是协方差还有一个很大的缺点,我们接下来讨论:
比如现在同样计算两个基因的协方差,我们将左边的数据范围扩大一倍,也就是从40 -> 80。
接下来,我们继续计算同样的两个基因的协方差,虽然线相对位置没发生变化,但是会发现协方差会扩大4倍。
就很有意思,我们唯一改变的只是数据点的值范围,数据点的关系并没有变化,但是协方差依旧在改变。
也就是说,协方差对于数据范围更敏感,而不是数据关系,这就使得它很难用于关系的描述,比如是否接近表示关系的虚线,以及和虚线间的距离。
虽然这样,但是协方差并不是一无是处,相反它是各种分析的基础,比如主成分分析,相关性分析。
三、相关性分析
1. 相关性强弱
基于趋势线,我们可以根据某个 Y 基因值,预测 X 基因的值。
当然,也可以用 X 基因来预测 Y 基因,就行下图这样的:
如果该数据越接近趋势线,根据 X 基因值去预测 Y 基因值就会落在较小范围内,那么 X 基因就会告诉我们更详细的 Y 基因信息。也可以说, X 基因对 Y 基因的关系相对较强。
相反,距离趋势线较远,我们会猜测 Y 基因值会落在更大的范围内:
这就代表 X 基因和 Y 基因间的关系相对较弱。
但是这里要注意描述问题,以上是用 X 基因根据趋势线和数值去预测 Y 基因的值。而不是代表着 X 基因值会导致 Y 基因值的变化。
我们现在得到可以量化关系强度的分类:
- 弱相关,较小的相关值
- 强相关,较大的相关值
2. P值
假设一个极端情况,所有点可以被正斜率的直线通过,这时的相关性为 1
无论数据关联的大小如何,只要具有正斜率的直线可以遍历所有数据,和斜率无关,相关性都为1
还有这样的,相关性也是为1
现在考虑个问题,如果数据集中只有两个值,就像下面这样:
类似这样的,其实并不能作为趋势线,因为两点绘制为线,这个随机性太大。也就是数据量太小的话,并不能代表数据总体。
测得的数据量越多,得到趋势线后,我们对于预测到正确的值越有信心,这时的P值越小。
上图中,对于第三个数据量多,P值很小,我们最有信心得出正确的预测值。
相关性代表了二者的关系,上图中的相关性很差,即使增加再多的样本量,也不会改变二者的关系。虽然增加了我们对预测的信心,可信度增加了,但是得到的结果是二者的关系依然很糟。
3. 总结
趋势线为负时,相关性相反
趋势线为正时,相关性为正
但是,我们大多数情况遇到的是数据分布在趋势线的两侧,
相关性值越接近 0 时,在拟合时,效果就会越差。
当相关性值为 0 时,就没有关系了。
现在可以看看相关性的公式了:
- 分子是二者的协方差,用来确定斜率的正负
- 分母是标准差,使相关性质取值范围为-1到1。而且可以确保数据规模不影响相关性值
4. R平方
绘制小鼠编号和小鼠体重的散点图,计算点与体重均值的距离,计算方差:
小鼠体重与小鼠体型的散点图,同样绘制点与均值的距离,计算方差:
可以发现,虽然点在 X 轴方向的排列顺序变了,但是方差并不会改变。
我们所要做的就是根据数据拟合一条直线,可以绘制出这根蓝线:
看起来拟合直线(蓝线)比均值直线(黑线)更好地贴合数据。
- Var(mean):数据值与其平均值的差的平方和,用来衡量数据点离均值线的远近
- Var(line):数据值与蓝线的差的平方和,用来衡量数据点离拟合线的远近
最终 R^2 的范围是 0 到 1,因为拟合直线附近的变化,永远不会大于,以平均线为基准衡量附近的变化。
最后,获得 R^2 = 81%,代表着蓝线与数据点的差值平方和比均值的对应数值小81%。也就是说,小鼠的大小与重量的相关性能够解释总差异的 81%,大部分数据变化都可以有小鼠体重和体型大小的关系来解释。
假设研究小鼠体重和嗅探石头的花费时间的关系:
可以看到拟合出的直线也是一个很大的值,计算得到的 R^2 只有 6%,代表这条拟合线只比平均值多解释了6%的差异,也就是说,X与 Y 二者的相关性仅仅能解释总差异的 6%,意味着数据中几乎没有任何差异可以用 X 变量来解释。
R^2 可以更好的直观解释数据的相关性,比如:
R^2 = 0.7^2 = 0.5,50%的差异可以用变量相关性来解释
R^2 = 0.5^2 = 0.25,25%的差异可以用变量相关性来解释
但是,R^2并没有方向,这时候需要结合R,描述这两个变量是正相关或负相关的。
R平方是两个变量间相关性能够解释总体差异的百分比
如果有相关系数 R 时,需要计算 R 平方。
致谢:
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