详解矩阵乘法中的Strassen算法

本文主要是介绍详解矩阵乘法中的Strassen算法，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

 

机器学习中需要训练大量数据，涉及大量复杂运算，例如卷积、矩阵等。这些复杂运算不仅多，而且每次计算的数据量很大，如果能针对这些运算进行优化，可以大幅提高性能。

一、矩阵乘法

如下图所示：

Figure 1 Matrix Multiplication

二、Strassen算法

Figure 2 x^3 vs. x^2.807

三、Strassen原理详解

Strassen算法正是从这个角度出发，实现了降低算法复杂度！

实现步骤可以分为以下4步：

3.1 Strassen实现步骤

 

四、Strassen算法的代码实现

我们以MNN中关于Strassen算法源码实现来学习：https://github.com/alibaba/MNN/blob/master/source/backend/cpu/compute/StrassenMatmulComputor.cpp。

类StrassenMatrixComputor提供了3个API供调用：

_generateTrivalMatMul(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT);

普通矩阵乘法计算

_generateMatMul(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT, int currentDepth);

Strassen算法的矩阵乘法

_generateMatMulConstB(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT, int currentDepth);

Strassen算法的矩阵乘法（和MatMul的区别在于内存Buffer是否允许复用)

我们以_generateMatMul为例来学习下Strassen算法如何实现，可以分成如下几步：

第一步：使用Strassen算法收益判断

在矩阵操作中，因为需要对矩阵的维数进行扩展，涉及大量读写操作，这些读写操作都需要大量循环，如果读写次数超出使用Strassen乘法的收益的话，就得不偿失了，那么就使用普通的矩阵乘法。

    /*Compute the memory read / write cost for expandMatrix Mul need eSub*lSub*hSub*(1+1.0/CONVOLUTION_TILED_NUMBWR), Matrix Add/Sub need x*y*UNIT*3 (2 read 1 write)*/float saveCost =(eSub * lSub * hSub) * (1.0f + 1.0f / CONVOLUTION_TILED_NUMBWR) - 4 * (eSub * lSub) * 3 - 7 * (eSub * hSub * 3);if (currentDepth >= mMaxDepth || e <= CONVOLUTION_TILED_NUMBWR || l % 2 != 0 || h % 2 != 0 || saveCost < 0.0f) {return _generateTrivialMatMul(AT, BT, CT);}

第二步：分块

    auto aStride = AT->stride(0);auto a11     = AT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 0 * aStride * lSub;auto a12     = AT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 1 * aStride * lSub;auto a21     = AT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 0 * aStride * lSub;auto a22     = AT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 1 * aStride * lSub;auto bStride = BT->stride(0);auto b11     = BT->host<float>() + 0 * bUnit * lSub + 0 * bStride * hSub;auto b12     = BT->host<float>() + 0 * bUnit * lSub + 1 * bStride * hSub;auto b21     = BT->host<float>() + 1 * bUnit * lSub + 0 * bStride * hSub;auto b22     = BT->host<float>() + 1 * bUnit * lSub + 1 * bStride * hSub;auto cStride = CT->stride(0);auto c11     = CT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 0 * cStride * hSub;auto c12     = CT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 1 * cStride * hSub;auto c21     = CT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 0 * cStride * hSub;auto c22     = CT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 1 * cStride * hSub;

第三步：分治和递归

Strassen算法核心就是分治思想。这一步可以写成下列所示伪代码：

1. If n = 1 Output A × B
2. Else
3. Compute A11,B11, . . . ,A22,B22 % by computing m = n/2
4. P1   Strassen(A11,B12 − B22)
5. P2   Strassen(A11 + A12,B22)
6. P3   Strassen(A21 + A22,B11)
7. P4   Strassen(A22,B21 − B11)
8. P5   Strassen(A11 + A22,B11 + B22)
9. P6   Strassen(A12 − A22,B21 + B22)
10. P7   Strassen(A11 − A21,B11 + B12)
11. C11   P5 + P4 − P2 + P6
12. C12   P1 + P2
13. C21   P3 + P4
14. C22   P1 + P5 − P3 − P7
15. Output C
16. End If

例如其中的一步代码如下所示：

   {// S1=A21+A22, T1=B12-B11, P5=S1T1auto f = [a22, a21, b11, b12, xAddr, yAddr, eSub, lSub, hSub, aStride, bStride]() {MNNMatrixAdd(xAddr, a21, a22, eSub * aUnit / 4, eSub * aUnit, aStride, aStride, lSub);MNNMatrixSub(yAddr, b12, b11, lSub * bUnit / 4, lSub * bUnit, bStride, bStride, hSub);};mFunctions.emplace_back(f);auto code = _generateMatMul(X.get(), Y.get(), C22.get(), currentDepth);if (code != NO_ERROR) {return code;}}

递归执行，得到最终结果！

这篇关于详解矩阵乘法中的Strassen算法的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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