关于第一型曲面积分的再思考

本文主要是介绍关于第一型曲面积分的再思考，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

@(微积分)

有些问题，看着复杂，却很好解。同样，有些问题看着很简单，但是却很难下手。举一个关于第一型曲面积分计算的例子。

第一型曲面积分基础解法要干三件事：

三件事之间没有逻辑顺序，想先干谁就干谁。

目标是为了化为二重积分。曲面太弯了，我们需要在比较直的场面下才好进行积分。

或者可以固化为一种自己喜欢的顺序：

设曲面S: $x^2+y^2 = a^2, (0\leq z \leq a)$ , 求 :
$I = \int \int S d S x 2 + y 2 + z 2$ $I = {\int\int}_S \frac{dS}{x^2+y^2+z^2}$

分析：线面积分我们知道是可以代入到被积函数的，如果能代进去简化问题，那么毫不客气代入进去。

I = \int \int S d S a 2 + z 2

$I = {\int\int}_S \frac{dS}{a^2+z^2}$
这里写图片描述

积分曲面：柱面，是很容易想象的。

在能计算之前，还少一步：投影。

往哪投？

显然这个曲面投影到xoy面上就是个线，线可不是二重积分。当然这不是否认往xoy平面投影的真正原因。真正原因是：投影到坐标平面，不允许有重合的点。

如果投影到xoy，压缩得只剩线了，你想有多少重合的点啊，都挤在一个线上了。数不过来了已经。

那么往xoz，或者yoz平面上头都是可以的，但是，根据上面所说，不允许重合，那么首先就得思考这个曲面关于xoz的对称性（现在选投影到xoz上）。

显然关于xoz对称，且被积函数是关于y的偶函数（表达式里根本就没有y，自然f(x,y,z) = f(x,-y,z)）。

所以问题化为：

I = 2 \int \int S 1 d S a 2 + z 2, y > 0

$I =2 {\int\int}_{S_1} \frac{dS}{a^2+z^2}, y>0$

$S_1$ 是+y这边的平面。

既然是投影了，意味着把弯曲的部分硬生生的摊平了，是不是要补偿一些什么？

对的，补偿系数。

系数如何补偿？

dS=1+y′2x+y

这篇关于关于第一型曲面积分的再思考的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！