【AI算法岗面试八股面经【超全整理】——信息论】

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AI算法岗面试八股面经【超全整理】

• 概率论
• 信息论
• 机器学习
• CV
• NLP

1、自信息、信息熵

自信息
概率与信息量的关系：概率越大的事件，提供的信息量越小；概率越小的事件，信息量越大
信息量计算公式：
$$I(x)=-\log p(x)$$
对数底与信息的单位：

• 以2为底：bit（binary unit）
• 以e为底：nat（nature unit）
• 以10为底：Hart（Hartley）

熵（信息熵）
熵用来描述一个事件的不确定性，表示某事件所有可能发生的情况的信息量的期望值（所有可能情况信息量的均值）
设事件X共有n种可能，发生$x_i$的概率为$p(x_i)$，那么该事件熵的计算公式：
$$H(x)=-\sum _{i=1}^{n}p(x_i)\log (p(x_i))=E(\log \frac{1}{p(x_i)})$$
基本性质：

• 非负性：$H(X)\ge 0$，当某事件是确定发生的事情，则其熵为0（太阳从东边升起的信息熵为0）
• 某随机变量每次发生的情况越不确定（不确定性越大），则其熵值越大，此时，该变量的分布也越混乱
• 当某事件对每种可能发生情况的概率是相等时，则其熵值最大

2、相对熵（KL散度）、交叉熵

相对熵（散度KL）
如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布$P(X)$和$Q(X)$，我们可以使用 KL 散度来衡量这两个分布的差异。
在机器学习中，P 往往用来表示样本的真实分布，Q 用来表示所预测的分布，那么 KL 散度是可以计算两个分布的差异，也是是 Loss 损失值。
$$D_{KL}(p||q)=\sum _{i-1}^n[p(x_i)\log (p(x_i))-p(x_i)\log (q(x_i))]$$
$$D_{KL}(p||q)=\sum _{i-1}^{n}p(x_i)\log (\frac{p(x_i)}{q(x_i)})$$

• KL散度的值始终大于0，并且当且仅当两分布相同时，KL散度等于0，当$P(X)$和$Q(X)$的相似度越高，KL距离越小
• KL散度不对称，即P到Q的距离，不等于Q到P的距离

交叉熵
对$D_{KL}(p||q)$公式进行变形可以得到
$$D_{KL}(p||q)=\sum _{i-1}^n[p(x_i)\log (p(x_i))-p(x_i)\log (q(x_i))]$$
$$D_{KL}(p||q)=\sum _{i-1}^n-p(x_i)\log (q(x_i))-H(X)$$
加入需要拟合的对象的分布是固定的（比如针对某一特定的数据集），那么$H(X)$就应该是一个定值，所以优化时可以忽略这一项的影响，仅仅优化前一项，而交叉熵即为去掉原始事件信息熵的KL散度：
$$H(p,q)=-\sum _{i-1}^{n}p(x_i)\log (q(x_i))$$

3、联合熵与条件熵

联合熵
联合熵表示多个随机变量联合分布的不确定性。
计算公式：
$$H(X,Y)=-\sum _{x\in X}\sum _{y\in Y}p(x,y)\log p(x,y)$$
$H(X,Y)\le H(X)+H(Y)$，即联合熵不一定等于两个随机变量的信息熵之和。理解：观察X会获得Y一定的信息。

条件熵
两个随机变量，当知道Y时，X的平均不确定性称为条件熵。
计算公式：
$$H(X|Y)=-\sum _{x\in X}\sum _{y\in Y}p(x,y)\log p(x|y)$$
条件熵和联合熵满足链式法则
$$H(X,Y)=H(Y)+H(X|Y)=H(X)+H(Y|X)$$

4、互信息

事物是普遍联系的，随机变量也存在相互关系，互信息可以用来刻画随机变量的相关程度。

• 单独观察X得到的信息量是$H(X)$
• 已知Y后，X的信息量变为$H(X|Y)$
• 了解Y后，X的信息量减少了$H(X)-H(X|Y)$

定义：离散型随机变量X与Y之间的互信息$I(X;Y)$为
$$I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=\sum _{x\in X}\sum _{y\in Y}p(x,y)\log \frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}$$
$$I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)$$

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