定积分求解过程是否变限问题 以及当换元时注意事项

2024-05-26 12:28

本文主要是介绍定积分求解过程是否变限问题 以及当换元时注意事项,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

目录

定积分求解过程是否变限问题 

文字理解:

 实例理解:

易错点和易混点:

1:定积分中的换元指什么?

2: 不定积分中第一类换元法和第二类换元法的本质和区别

3: df(x)   ---->   df(x)这个过程对大家产生困扰

换元时注意事项:

1:换元必换限,同时要将 dx = f(t)dt 也更换

2:换元要判断新元要保证连续可导:

3:积分区间上单调的替换函数是必要的

4:偶次方根下开平方,要加绝对值

5:牛顿莱布尼茨公式只适用于定积分,当定积分区间内有瑕点(该点的函数值为无穷)


定积分求解过程是否变限问题 

文字理解:

       定积分换元有一个口诀:换字必换限(所以不换字就不换限)。

       理解:通过判断是否 引入一个新的变量替换原来的变量 来确定是否更换 积分限

        白话理解:你在积分中,如果一直用字母t,那么那个积分限当然还是t等于多少的积分限。但是一旦你在积分中,不要原来的字母t了,换成一个新的字母x,那么积分限当然要换成x等于多少了?。这就叫做,这就叫做换字必换限。不换字就不换限。明白了没有?

 实例理解:

来源:​​​​​​(1 封私信) 闲敲棋子落灯hua - 知乎 (zhihu.com)

        (1 封私信) 龚漫奇 - 知乎 (zhihu.com)

易错点和易混点:

1:定积分中的换元指什么?

        定积分中说的"换元"指的是引入新变量替换原变量

2: 不定积分中第一类换元法和第二类换元法的本质和区别

第一类换元法(凑微分):

第二类换元法:

通过这两个概念的引入,我们能清晰的认识到,第二类换元法的概念 与 定积分的换元的概念 是一 一对应的,故第二类换元法需要更换积分上下限。而第一类换元法的概念 与 定积分的换元的概念 并不是相同概念,故凑微分并不用更换积分上下限。

3: df(x)   ---->   df(x) 这个过程使大家产生困扰

定积分公式    \int_{a}^{b}u(x)df(x)

        当凑微分时会产生这样的过程  df(x)   ---->   df(x)  容易误导大家,让大家误以为是更换了积分变量,其实如果单单只是df(x)   ---->   dg(x) ,而u(x)对应的函数并未更换变量,此时并不表示更换积分变量。注 dx 也是 df(x)中的一种情况 当f(x) =x 时。

        若:定积分公式 \int_{a}^{b}u(x)df(x)  中 u(x)df(x) 经过一系类变化转换为  v(x)dg(x) 这个过程仍然并没有引入新的变量,变量仍是"x",不用更改积分限。刚好凑微分符合该条件,故凑微分不用修改积分上下限。

        若:定积分公式  \int_{a}^{b}u(x)df(x)  中u(x)df(x)经过一系列变换转换为v(t)dg(t)此时要根据变换过程及时更换积分上下限。第二类换元需要修改上下限。

注:一定要分清 凑微分法 和 第二类换元法 和 定积分的换元 在概念上的区别。

换元时注意事项:

1:换元必换限,同时要将 dx = f(t)dt 也更换

2:换元要判断新元要保证连续可导:

        例如原积分区间(-1,1),换元函数是 x = 1/t ,很明显当x = 0时 t是无穷,所有新元函数在0处为无穷间断点,不连续也不可导,故此时不能换元。

3:积分区间上单调的替换函数是必要的

        进行定积分的变量替换时,选择在积分区间上单调的替换函数是非常重要的。这可以确保替换过程中的一一对应性,避免积分上下限混淆,并简化积分计算过程。在实际操作中,务必检查替换函数的单调性和可逆性,以确保积分计算的正确性

4:偶次方根下开平方,要加绝对值

        换元后,很多情况下都是会出现平方项,特别是三角换元,当遇见偶次根号下开方一定要小心

5:牛顿莱布尼茨公式只适用于定积分,当定积分区间内有瑕点(该点的函数值为无穷)

        这个很少见,一般让你求定积分都是已经帮你筛选过瑕点区间不用很担心。除非题目问你:该积分是否能用牛顿莱布尼茨求。

这篇关于定积分求解过程是否变限问题 以及当换元时注意事项的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/1004462

相关文章

将Mybatis升级为Mybatis-Plus的详细过程

《将Mybatis升级为Mybatis-Plus的详细过程》本文详细介绍了在若依管理系统(v3.8.8)中将MyBatis升级为MyBatis-Plus的过程,旨在提升开发效率,通过本文,开发者可实现... 目录说明流程增加依赖修改配置文件注释掉MyBATisConfig里面的Bean代码生成使用IDEA生

springboot循环依赖问题案例代码及解决办法

《springboot循环依赖问题案例代码及解决办法》在SpringBoot中,如果两个或多个Bean之间存在循环依赖(即BeanA依赖BeanB,而BeanB又依赖BeanA),会导致Spring的... 目录1. 什么是循环依赖?2. 循环依赖的场景案例3. 解决循环依赖的常见方法方法 1:使用 @La

C# WinForms存储过程操作数据库的实例讲解

《C#WinForms存储过程操作数据库的实例讲解》:本文主要介绍C#WinForms存储过程操作数据库的实例,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助,如有错误或未考虑完全的地方,望不吝赐教... 目录一、存储过程基础二、C# 调用流程1. 数据库连接配置2. 执行存储过程(增删改)3. 查询数据三、事务处

JSON Web Token在登陆中的使用过程

《JSONWebToken在登陆中的使用过程》:本文主要介绍JSONWebToken在登陆中的使用过程,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助,如有错误或未考虑完全的地方,望不吝赐教... 目录JWT 介绍微服务架构中的 JWT 使用结合微服务网关的 JWT 验证1. 用户登录,生成 JWT2. 自定义过滤

java中使用POI生成Excel并导出过程

《java中使用POI生成Excel并导出过程》:本文主要介绍java中使用POI生成Excel并导出过程,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助,如有错误或未考虑完全的地方,望不吝赐教... 目录需求说明及实现方式需求完成通用代码版本1版本2结果展示type参数为atype参数为b总结注:本文章中代码均为

SpringBoot启动报错的11个高频问题排查与解决终极指南

《SpringBoot启动报错的11个高频问题排查与解决终极指南》这篇文章主要为大家详细介绍了SpringBoot启动报错的11个高频问题的排查与解决,文中的示例代码讲解详细,感兴趣的小伙伴可以了解一... 目录1. 依赖冲突:NoSuchMethodError 的终极解法2. Bean注入失败:No qu

MySQL新增字段后Java实体未更新的潜在问题与解决方案

《MySQL新增字段后Java实体未更新的潜在问题与解决方案》在Java+MySQL的开发中,我们通常使用ORM框架来映射数据库表与Java对象,但有时候,数据库表结构变更(如新增字段)后,开发人员可... 目录引言1. 问题背景:数据库与 Java 实体不同步1.1 常见场景1.2 示例代码2. 不同操作

如何解决mysql出现Incorrect string value for column ‘表项‘ at row 1错误问题

《如何解决mysql出现Incorrectstringvalueforcolumn‘表项‘atrow1错误问题》:本文主要介绍如何解决mysql出现Incorrectstringv... 目录mysql出现Incorrect string value for column ‘表项‘ at row 1错误报错

如何解决Spring MVC中响应乱码问题

《如何解决SpringMVC中响应乱码问题》:本文主要介绍如何解决SpringMVC中响应乱码问题,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助,如有错误或未考虑完全的地方,望不吝赐教... 目录Spring MVC最新响应中乱码解决方式以前的解决办法这是比较通用的一种方法总结Spring MVC最新响应中乱码解

pip无法安装osgeo失败的问题解决

《pip无法安装osgeo失败的问题解决》本文主要介绍了pip无法安装osgeo失败的问题解决,文中通过示例代码介绍的非常详细,对大家的学习或者工作具有一定的参考学习价值,需要的朋友们下面随着小编来一... 进入官方提供的扩展包下载网站寻找版本适配的whl文件注意:要选择cp(python版本)和你py