定积分求解过程是否变限问题 以及当换元时注意事项

2024-05-26 12:28

本文主要是介绍定积分求解过程是否变限问题 以及当换元时注意事项,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

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定积分求解过程是否变限问题 

文字理解:

 实例理解:

易错点和易混点:

1:定积分中的换元指什么?

2: 不定积分中第一类换元法和第二类换元法的本质和区别

3: df(x)   ---->   df(x)这个过程对大家产生困扰

换元时注意事项:

1:换元必换限,同时要将 dx = f(t)dt 也更换

2:换元要判断新元要保证连续可导:

3:积分区间上单调的替换函数是必要的

4:偶次方根下开平方,要加绝对值

5:牛顿莱布尼茨公式只适用于定积分,当定积分区间内有瑕点(该点的函数值为无穷)


定积分求解过程是否变限问题 

文字理解:

       定积分换元有一个口诀:换字必换限(所以不换字就不换限)。

       理解:通过判断是否 引入一个新的变量替换原来的变量 来确定是否更换 积分限

        白话理解:你在积分中,如果一直用字母t,那么那个积分限当然还是t等于多少的积分限。但是一旦你在积分中,不要原来的字母t了,换成一个新的字母x,那么积分限当然要换成x等于多少了?。这就叫做,这就叫做换字必换限。不换字就不换限。明白了没有?

 实例理解:

来源:​​​​​​(1 封私信) 闲敲棋子落灯hua - 知乎 (zhihu.com)

        (1 封私信) 龚漫奇 - 知乎 (zhihu.com)

易错点和易混点:

1:定积分中的换元指什么?

        定积分中说的"换元"指的是引入新变量替换原变量

2: 不定积分中第一类换元法和第二类换元法的本质和区别

第一类换元法(凑微分):

第二类换元法:

通过这两个概念的引入,我们能清晰的认识到,第二类换元法的概念 与 定积分的换元的概念 是一 一对应的,故第二类换元法需要更换积分上下限。而第一类换元法的概念 与 定积分的换元的概念 并不是相同概念,故凑微分并不用更换积分上下限。

3: df(x)   ---->   df(x) 这个过程使大家产生困扰

定积分公式    \int_{a}^{b}u(x)df(x)

        当凑微分时会产生这样的过程  df(x)   ---->   df(x)  容易误导大家,让大家误以为是更换了积分变量,其实如果单单只是df(x)   ---->   dg(x) ,而u(x)对应的函数并未更换变量,此时并不表示更换积分变量。注 dx 也是 df(x)中的一种情况 当f(x) =x 时。

        若:定积分公式 \int_{a}^{b}u(x)df(x)  中 u(x)df(x) 经过一系类变化转换为  v(x)dg(x) 这个过程仍然并没有引入新的变量,变量仍是"x",不用更改积分限。刚好凑微分符合该条件,故凑微分不用修改积分上下限。

        若:定积分公式  \int_{a}^{b}u(x)df(x)  中u(x)df(x)经过一系列变换转换为v(t)dg(t)此时要根据变换过程及时更换积分上下限。第二类换元需要修改上下限。

注:一定要分清 凑微分法 和 第二类换元法 和 定积分的换元 在概念上的区别。

换元时注意事项:

1:换元必换限,同时要将 dx = f(t)dt 也更换

2:换元要判断新元要保证连续可导:

        例如原积分区间(-1,1),换元函数是 x = 1/t ,很明显当x = 0时 t是无穷,所有新元函数在0处为无穷间断点,不连续也不可导,故此时不能换元。

3:积分区间上单调的替换函数是必要的

        进行定积分的变量替换时,选择在积分区间上单调的替换函数是非常重要的。这可以确保替换过程中的一一对应性,避免积分上下限混淆,并简化积分计算过程。在实际操作中,务必检查替换函数的单调性和可逆性,以确保积分计算的正确性

4:偶次方根下开平方,要加绝对值

        换元后,很多情况下都是会出现平方项,特别是三角换元,当遇见偶次根号下开方一定要小心

5:牛顿莱布尼茨公式只适用于定积分,当定积分区间内有瑕点(该点的函数值为无穷)

        这个很少见,一般让你求定积分都是已经帮你筛选过瑕点区间不用很担心。除非题目问你:该积分是否能用牛顿莱布尼茨求。

这篇关于定积分求解过程是否变限问题 以及当换元时注意事项的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



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