矩阵的迹的性质

2024-05-25 09:36

文章标签 性质矩阵的迹

本文主要是介绍矩阵的迹的性质，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. 定义

矩阵的迹(trace)即对角线的和
$tr(M)=\sum_{i}M_{ii}$

2. 性质

$\begin{align} &tr(I_n)=n\\ &tr(A^{\top})=tr(A)\\ & tr(\alpha A)=\alpha \ tr(A)\\ & tr(A+B) =tr(A) +tr(B)\\ & tr(AB) = tr(BA)\\ \end{align}$

$A_1, A_2, \cdots A_k:Matrix(n,n)\\ \begin{align} &tr(A_1A_2\cdots A_k)=tr(A_2\cdots A_k A_1) \\ if\ AX=X\Lambda ,A=X\Lambda X^{-1} \rightarrow \nonumber\\ tr(A)=tr(X\Lambda X^{-1})=tr(\Lambda XX^{-1})=tr(\Lambda) \end{align}$
性质 $5$ 证明
$\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ki}\\ tr(BA) = \sum_{u=1}^n\sum_{v=1}^n b_{uv}a_{vu}\\ 求和项数均为 n \times n, 对于任一项a_{ik}b_{ki}都能找到b_{uv}a_{vu}与之对应。\\ 所以tr(AB)=tr(BA)$
性质 $6$ 证明
$数学归纳法\\ k=2, tr(A_1A_2) = tr(A_2A_1)成立\\ 假设k时成立\\ 令B=A_2\cdots A_{k+1}\\ tr(A_1\cdots A_{k+1}) = tr(A_1(A_2\cdots A_{k+1}))=tr(A_1B)=tr(BA_1)\\=tr(A_2\cdots A_{k+1}A_1)$

3. 叉乘矩阵

叉乘的矩阵形式，又叫dual matrix。

向量叉乘
$\overrightarrow a \times \overrightarrow b= \begin{bmatrix} \overrightarrow i & \overrightarrow j & \overrightarrow k\\ x_a & y_a & z_a\\ x_b & y_b & z_b\\ \end{bmatrix}=(y_az_b-y_bz_a, x_bz_a-x_az_b,x_ay_b-x_by_a)$
$\overrightarrow a \times \overrightarrow b= \begin{bmatrix} 0 & z_a & -y_a \\ -z_a & 0 &x_a\\ y_a & -x_a & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_b\\ y_b\\ z_b \\ \end{bmatrix}$

$u_{\times}= \begin{bmatrix} 0 & z & -y \\ -z & 0 &x\\ y & -x & 0 \end{bmatrix}$

$u_{\times}$ 就是叉乘矩阵。
叉乘矩阵具有反对称性。矩阵的反对称性即 $A^{\top}=-A$

4. 向量三重积

又叫BAC-CAB准则

$A\times (B \times C)=B(A *C)-C(A*B)$

证明
$取x方向分量\\ (A\times (B \times C))_x\\ B\times C= \begin{bmatrix} i & j & k \\ x_b & y_b &z_b\\ x_c & y _c & z_c \end{bmatrix}=(y_bz_c-y_cz_b,x_cz_b-x_bz_c,x_by_c-x_cy_b)\\ \begin{align} (A\times (B \times C))_x &= y_a(x_by_c-x_cy_b)-z_a(x_cz_b-x_bz_c)\nonumber\\ &= x_by_ay_c-x_cy_ay_b-x_cz_az_b+x_bz_az_c\nonumber\\ &= x_b(y_ay_c+z_az_c)-x_c(y_ay_b+z_az_b)\nonumber\\ &= x_b(y_ay_c+z_az_c)+x_bx_ax_c-x_cx_ax_b-x_c(y_ay_b+z_az_b)\nonumber\\ &= x_b(x_ax_c+y_ay_c+z_az_c)-x_c(x_ax_b+y_ay_b+z_az_b)\nonumber\\ &= x_b(A *C)-x_c(A *B)\nonumber\\ \end{align}\\ 其余两个方向分量证明类似\\ A\times(B \times C)=B(A*C)-C(A*B)$