《点和直线投影及位置关系》

本文主要是介绍《点和直线投影及位置关系》，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

再简单的问题，也需要认真推导！

直线方程

• 点斜式：$y-y_0=k(x-x_0)$
• 斜距式：$y=kx+b$
• 两点式：$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$ （不包括垂直坐标轴直线）
• 截距式：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
• 一般式：$Ax+By+C=0$ （AB不同时为0）
• 已知直线上两点$P_1(x_1,y_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$，和直线外一点$P_3(x_3,y_3)$
  • 求投影点$P_0(x_0,y_0)$ 坐标
  • 求点和直线位置关系

点在直线投影

直线求交点

$$
P_1P_2: y=k_{12}x+b_{12} \
P_0P_3: y=k_{03}x+b_{03} \

\begin{cases}
x_1,x_1 = x_2 \
y_1,y_1 = y_2 \
x = \frac{b_{03} - b_{12}}{k_{12} - k_{03}},other
\end{cases}
$$

def cal_proj1(P1, P2, P3):if P1[0] == P2[0]:x = P1[0]y = P3[1]elif P1[1] == P2[1]:x = P3[0]y = P1[1]else:k_12 = (P2[1]-P1[1]) / (P2[0] - P1[0])b_12 = P1[1] - k_12 * P1[0]k_03 = -1/k_12b_03 = P3[1] - k_03 * P3[0]x = (b_03 - b_12) / (k_12 - k_03)y = k_12 * x + b_12return [x, y]

向量点积

$$
k * \vec{P_{12}} = \vec{P_{10}} \
k = \frac{|\vec{P_{10}}|}{|\vec{P_{12}}|} = \frac{|\vec{P_{13}}| * cos(∠P_3P_1P_2)}{|\vec{P_{12}}|} = \frac{\vec{P_{13}}.\vec{P_{12}}}{|\vec{P_{12}}|^2} \

P_0 = k * \vec{P_{12}} + P_1
$$

def cal_proj2(P1, P2, P3):P_12 = [P2[0]-P1[0], P2[1]-P1[1]]P_13 = [P3[0]-P1[0], P3[1]-P1[1]]k = (P_12[0] * P_13[0] + P_12[1] * P_13[1]) / (math.pow(P_12[0], 2) + math.pow(P_12[1], 2))x = k * P_12[0] + P1[0]y = k * P_12[1] + P1[1]return [x, y]

点和直线关系

• 点在直线上
• 点在直线左右
• 点在直线上下

直线方程

• 求直线方程
  • 已知x，求y估计和y关系
  • 已知y，求x估计和x关系

def lf_relation_between_line_and_point(P1, P2, P3):if P1[0] == P2[0]:if P3[0] == P1[0]:return 0elif P3[0] < P1[0]:return -1 # leftelse:return 1 # rightelif P2[1] - P1[1] == 0:# 水平无左右？return 0else:k = (P2[1] - P1[1]) / (P2[0] - P1[0])b = P1[1] - k*P1[0]x_ = (P3[1] - b) / kif x_ == P3[0]:return 0elif x_ < P3[0]:return 1else:return -1def tb_relation_between_line_and_point(P1,P2,P3):if P2[0] - P1[0] == 0:# 垂直无上下？return 0k = (P2[1] - P1[1]) / (P2[0] - P1[0])b = P1[1] - k * P1[0]y_ = k * P3[0] + bif y_ == P3[1]:return 0elif y_ < P3[1]:return -1 # bottomelse:return 1 # up

向量叉积

• 通过它的符号判断两矢量相互之间的顺逆时针关系

若 P × Q > 0 , 则P在Q的顺时针方向。
若 P × Q < 0 , 则P在Q的逆时针方向。
若 P × Q = 0 , 则P与Q共线，但可能同向也可能反向。

• 满足右手螺旋准则

def lf_relation_between_line_and_point2(P1,P2, P3):if P1[1] == P2[1]:# 水平无左右return 0# 确定vector方向elif P1[1] > P2[1]:v1 = [P1[0] - P2[0], P1[1] - P2[1]]v2 = [P3[0] - P2[0], P3[1] - P2[1]]elif P1[1] < P2[1]:v1 = [P2[0] - P1[0], P2[1] - P1[1]]v2 = [P3[0] - P1[0], P3[1] - P1[1]]# v1 x v2A_cross_B = v1[0] * v2[1] - v1[1] * v2[0]if A_cross_B > 0:return -1elif A_cross_B < 0:return 1else:return 0def tb_relation_between_line_and_point2(P1,P2,P3):if P1[0] == P2[0]:# 垂直无上下return 0# 确定vector方向elif P1[0] > P2[0]:v1 = [P1[0] - P2[0], P1[1] - P2[1]]v2 = [P3[0] - P2[0], P3[1] - P2[1]]elif P1[0] < P2[0]:v1 = [P2[0] - P1[0], P2[1] - P1[1]]v2 = [P3[0] - P1[0], P3[1] - P1[1]]# v1 x v2A_cross_B = v1[0] * v2[1] - v1[1] * v2[0]if A_cross_B > 0:return -1elif A_cross_B < 0:return 1else:return 0

这篇关于《点和直线投影及位置关系》的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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