【贪心算法】【Python实现】最优装载问题

2024-05-15 07:12

本文主要是介绍【贪心算法】【Python实现】最优装载问题,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

文章目录

    • @[toc]
      • 问题描述
        • 形式化描述
      • 贪心算法
        • 贪心选择性质
        • 最优子结构性质
      • `Python`实现
      • 时间复杂性

问题描述

  • 有一批集装箱要装上一艘载重量为 c c c的轮船,其中集装箱 i i i的重量为 w i w_{i} wi
  • 在装载体积不受限制的情况下,将尽可能多的集装箱装上轮船
形式化描述

{ max ⁡ ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n w i x i ≤ c x i ∈ { 0 , 1 } , 1 ≤ i ≤ n \begin{cases} \max\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{x_{i}} \\ \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{w_{i} x_{i}} \leq c \end{cases} \kern{2em} x_{i} \in \set{0 , 1} , 1 \leq i \leq n maxi=1nxii=1nwixicxi{0,1},1in


贪心算法

  • 采用重量最轻者先装的贪心选择策略,可产生最优装载问题的最优解
贪心选择性质
  • 设集装箱已依其重量从小到大排序, ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) (x_{1} , x_{2} , \cdots , x_{n}) (x1,x2,,xn)是最优装载问题的一个最优解,设 k = min ⁡ 1 ≤ i ≤ n { i ∣ x i = 1 } k = \min\limits_{1 \leq i \leq n}{\set{i \mid x_{i} = 1}} k=1inmin{ixi=1},如果给定的最优装载问题有解,则 1 ≤ k ≤ n 1 \leq k \leq n 1kn
    • k = 1 k = 1 k=1时, ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) (x_{1} , x_{2} , \cdots , x_{n}) (x1,x2,,xn)是一个满足贪心选择性质的最优解
    • k > 1 k > 1 k>1时,取 y 1 = 1 y_{1} = 1 y1=1 y k = 0 y_{k} = 0 yk=0 y i = x i y_{i} = x_{i} yi=xi 1 < i ≤ n 1 < i \leq n 1<in i ≠ k i \neq k i=k,则 ∑ i = 1 n w i y i = w 1 − w k + ∑ i = 1 n w i x i ≤ ∑ i = 1 n w i x i ≤ c \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{w_{i} y_{i}} = w_{1} - w_{k} + \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{w_{i} x_{i}} \leq \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{w_{i} x_{i}} \leq c i=1nwiyi=w1wk+i=1nwixii=1nwixic,因此, ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) (y_{1} , y_{2} , \cdots , y_{n}) (y1,y2,,yn)是所给最优装载问题的可行解
  • ∑ i = 1 n y i = ∑ i = 1 n x i \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{y_{i}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{x_{i}} i=1nyi=i=1nxi知, ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) (y_{1} , y_{2} , \cdots , y_{n}) (y1,y2,,yn)是满足贪心选择性质的最优解,所以,最优装载问题具有贪心选择性质
最优子结构性质
  • ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) (x_{1} , x_{2} , \cdots , x_{n}) (x1,x2,,xn)是最优装载问题的满足贪心选择性质的最优解,则 x 1 = 1 x_{1} = 1 x1=1 ( x 2 , x 3 , ⋯ , x n ) (x_{2} , x_{3} , \cdots , x_{n}) (x2,x3,,xn)是轮船载重量为 c − w 1 c - w_{1} cw1、待装船集装箱为 { 2 , 3 , ⋯ , n } \set{2 , 3 , \cdots , n} {2,3,,n}时相应最优装载问题的最优解,也就是说,最优装载问题具有最优子结构性质

Python实现

def loading_ship(containers, capacity):# 将集装箱组织成 (索引, 重量) 二元组形式containers = list(enumerate(containers))# 按照集装箱的重量进行排序containers.sort(key=lambda x: x[1])# 记录已经装载的集装箱索引loaded_containers = []# 记录当前已经装载的总重量current_weight = 0# 遍历每个集装箱for index, weight in containers:# 如果当前集装箱的重量加上已经装载的总重量不超过轮船的载重量, 则将集装箱装上轮船if current_weight + weight <= capacity:current_weight += weightloaded_containers.append(index)else:# 如果无法装载当前集装箱, 则退出循环breakloaded_containers.sort()return loaded_containerscontainers = [3, 5, 2, 7, 4, 1]
capacity = 10res = loading_ship(containers, capacity)print(f'装载的集装箱索引: {res}')
装载的集装箱索引: [0, 2, 4, 5]

时间复杂性

  • 算法的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排序,所以算法所需的计算时间为 O ( n log ⁡ n ) O(n \log{n}) O(nlogn)

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