408数据结构-哈夫曼树 自学知识点整理

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前置知识：二叉树的概念、性质与存储结构

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哈夫曼树

哈夫曼树的定义

首先需要明确几个概念。
路径：从树中的一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径。
路径长度：路径上的分支数目称为路径长度。
权(值)：树中结点被赋予的表现或具有某种现实含义的值，这个值称为该结点的权。（就是一般存放在$T->data$里的那玩意）
结点的带权路径长度：从树的根到一个结点的路径长度（经过的边数）与该结点上权值的乘积，称为该结点的带权路径长度。
例如，对下图中的树，结点$I$的带权路径长度为$3\times 3=9$。

树的带权路径长度：树中所有叶结点的带权路径长度之和称为该树的带权路径长度，记为
$$WPL=\sum _{i=1}^{\infty }{w}_i{l}_i$$
式中，$w_i$是第$i$个叶结点所带的权值，$l_i$是该叶结点到根结点的路径长度。对上图中的树，其带权路径长度为$3\times (5+1+10+3)=57$。

哈夫曼树：在含有$n$个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度（$WPL$）最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树。

哈夫曼树的构造

给定$n$个权值分别为$w_1,w_2,\cdots ,w_n$的结点，构造哈夫曼树的算法描述如下：

1. 将这$n$个结点分别作为$n$棵仅含一个结点的二叉树，构成森林$F$。
2. 构造一个新结点，从$F$中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树，并且将新结点的权值置为左右子树上根结点的权值之和。
3. 从$F$中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入$F$中。
4. 重复步骤$2$和步骤$3$，直至$F$中只剩下一棵树为止。

简而言之，就是把所有结点看成只有根节点的二叉树，然后每次从这一坨二叉树里选两个根结点权值最小的作为兄弟结点（无顺序），构成一棵新的二叉树，新二叉树的根结点权值为这两个结点权值的和。一直重复下去直到只剩最后一棵树，就是哈夫曼树，且不唯一。

哈夫曼树的性质

从构造过程中，可以看出哈夫曼树具有如下特点：

1. 每个初始结点最终都将成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大。
2. 构造过程中共新建了$n-1$个新结点（且均为双分支结点），因此哈夫曼树的结点总数为$2n-1$。
3. 每次构造都选择$2$棵树作为新结点的孩子，因此哈夫曼树必是二叉树，且其中不存在度为$1$的结点。

(图片来自王道考研408数据结构2025)

哈夫曼编码

在数据通信中，若对每个字符用相等长度的二进制位表示，则称这种编码方式为固定长度编码。若允许对不同字符用不等长的二进制位表示，则称这种编码方式为可变长度编码。可变长度编码要比固定长度编码好得多，其特点是对频率高的字符赋以短编码，而对频率较低的字符则赋以较长一些的编码，从而可以使字符的平均编码长度减短，起到压缩数据的效果。

若没有一个编码是另一个编码的前缀，则称这样的编码为前缀编码。
由哈夫曼树得到哈夫曼编码，只需将字符中的每个字符作为一个结点，各个字符出现的频度（或次数）作为结点的权值，构造出对应的哈夫曼树。然后，从根到叶结点的路径上分支标记的字符串作为该字符的编码，这样就得到了哈夫曼编码。因为哈夫曼树是不唯一的，所以哈夫曼编码同样也不唯一。
哈夫曼编码常应用在数据压缩中。

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在408考研初试中，常考对于一个给定的字符集，如何设计一个哈夫曼编码，其实就是构造一棵哈夫曼树。这一块知识对编写代码不作要求，只需掌握手推即可。
以上。

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