本文主要是介绍数学定义摘录，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
摘录自维基百科：
整数模n乘法群（Multiplicative group of integers modulo n）(Z/p^nZ)^×表示环(Z/p^nZ)的单位（乘法）群。
整数模n环记作Z/nZ或Z/(n)（即整数环模去理想nZ=(n)，由n的倍数组成）或Z_n，它的单位群可能记为(Z/nZ)^*,(Z/nZ)^×,U(Z/nZ)或类似的记号。
在同余理论中，模n的互质同余类组成一个乘法群，称为整数模n乘法群，也称为模n既约剩余类。在环理论中，一个抽象代数的分支，也称这个群为整数模n的环的单位群（单位是指乘法可逆元）。
这个群是数论的基石，在密码学、整数分解和素性测试均有运用。例如，关于这个群的阶（即群的“大小”），我们可以确定如果n是质数当且仅当阶数为n-1。
2的幂次：
模n=2只有一个互质同余类1，所以(Z/2Z)^×=C_1。
模n=4有两个互质同余类1和3，所以(Z/4Z)^×=C_2。
模n=8有四个互质同余类1,3,5和7，每个平方都是1，所以(Z/8Z)^×=C_2×C_2，此即Klein四元群。
模n=16有八个互质同余类1,3,5,7,9,11,13和15，所以(Z/16Z)^×=C_2×C_4。
k>2时，(Z/2^kZ)^×=C_2×C_2^(k-2)。
奇质数的幂：
对奇质数的幂p^k，此群是循环群：(Z/p^kZ)^×=C_(p^(k-1))(p-1)=C_Φ(p^k)。
群的阶数由欧拉Φ函数（1760）给出： |(Z/p^nZ)^×|=Φ(n)，这是直积中各循环阶数的乘积。
Kronecker把环叫作"序（order）"，环（ring）这个词是Hilbert引进的。
一个抽象的环是一组元素组成的集合，它关于一种运算形成一个交换群，而且它还受制于可作用于任何二个元素的第二种运算；这第二种运算时封闭的并且是结合的，但可以是，也可以不是交换的；可以有，也可以没有单位元素。它还适合分配律a(b+c)=ab+ac和(b+c)a=ba+ca。
由一个元素生成的理想叫做主理想。仅由零元素组成的理想叫零理想，记作0和R以外的理想叫做真理想。类似地，如果a_1,a_2,,a_n是环R中给定的m个元素，R有单位元素，则所有和数r_1a_1+r_2a_2+…+r_ma_m,r_i∈R的集合是R的一个左理想，记作(a_1,a_2,…,a_m)。它是包含的最小的左理想。如果一个交换环R的每一个理想都可表成如上的形式，则R叫作Noether环。
定义：环<R,+,·>中·运算满足交换律时，称R为交换环（commutative rings），当·运算有么元时，称R为含么环（ring with unity）。
定义：设<R,+,·>为环，若有非零元素a,b满足ab=0，则称a,b为R的零因子（divisor of 0），并称R为含零因子环，否则称R为无零因子环。
定理：设两个环同构：R=~R，则若R是整环，则~R也是整环；若R是除环，则~R也是除环；若R是域，则~R也是域；……。
理想：设I为R的子环，若对于I中任何元a（向量模元素）和R中任何元c（纯量环元素），有c·a∈I且a·c∈I，则称I为环R的理想。
定义环R的一个非空子集I，I叫做一个理想子环（理想）若：
1.a,b∈I=>a-b∈Ib
2.a∈I,c∈R=>ca,ac∈I
素理想：环R的真理想I被称为素理想，若对任意R上的理想A,B，有AB包含于I推导出A包含于I或B包含于I。
素理想：R的理想P是素理想，当且仅当它是一个真理想（此处上下文认为{0}是真理想）（也即，P≠R），且对于R的任何两个理想A和B使得AB包含于P，都有A包含于P或B包含于P。
准素理想：环R的真理想I。若对任意R上的理想P，有P^2包含于I推导出P包含于I，称I是R的准素理想。
定义：设R为环，集合C(R)={c∈R|对于每个r∈R，rc=cr}叫做环R的中心。
求证：C(R)是R的子环，但不一定是R的理想。
真理想：若I是环R的理想，且I是R的真子集，I称为R的真理想。 极大理想： 环R的一个真理想I被称为R的极大理想，若不存在其他真理想J，使得I是J的真子集。
极大左理想：设I是环R的左理想，若I≠R并且在I与R之间不存在真的左理想，则称I是环R的一个极大左理想。
极大左理想与极大理想之间有如下关系：
如果I是极大左理想，又是双边理想，则I是极大理想。
极大理想未必是极大左理想。
试给出模6、模10、模12剩余类环Z/6Z、Z/10Z、Z/12Z中所有素理想和极大理想，并说明理由。
解：
1、因为剩余类环是循环环，而循环环的子加群、子环和理想就是一回事，因此Z/6Z的全部理想有4个，它们是：
{~0},{~0,~3},{~0,~2,~4},Z/6Z。
由于Z/6Z有零因子，故{~0}不是素理想，当然也不是极大理想。
再由拉格朗日定理知，{~0,~3},{~0,~2,~4}都是Z/6Z的极大理想，从而由推论2知，它们也是Z/6Z的素理想。
2、理由同上，Z/10Z的素理想和极大理想都是{~0,~5},{~0,~2,~4,~6,~8}。
3、T(12)=|{1,2,3,4,6,12}|=6
Z/12Z共有6个理想：<0>={~0},<
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