本文主要是介绍1.11 商环，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
§11 商环
显见：同态的核是一个理想。那么，是不是每一个理想都是某一个同态的核？
定理1.11.1
每个理想都是某一同态的核。
证明
设 I I I 是环 L L L 的一个理想。 I I I 作为 L L L 的加法群的子群， L L L 的元素按 I I I 分成陪集：
r + I , r ∈ I . r+I, r \in I. r+I,r∈I.
因为加法群是交换的，故陪集之间可以定义加法。即：
( r 1 + I ) + ( r 2 + I ) = r 1 + r 2 + I . (r_{1} + I) + (r_{2} + I) = r_{1} + r_{2} + I. (r1+I)+(r2+I)=r1+r2+I.
下面证明：任意两个陪集的积仍属于某个陪集。设:
x = r 1 + a ∈ r 1 + I , 其 中 a ∈ I . x = r_{1} + a \in r_{1} + I, \ 其中 a \in I. x=r1+a∈r1+I, 其中a∈I.
y = r 2 + b ∈ r 2 + I , 其 中 b ∈ I . y = r_{2} + b \in r_{2} + I, \ 其中 b \in I. y=r2+b∈r2+I, 其中b∈I.
故
x y = ( r 1 + a ) ( r 2 + b ) xy = (r_{1} + a)(r_{2} + b) xy=(r1+a)(r2+b)
= r 1 r 2 + a r 2 + r 1 b + a b ∈ r 1 r 2 + I . = r_{1}r_{2} + ar_{2} + r_{1}b + ab \in r_{1}r_{2} + I. =r1r2+ar2+r1b+ab∈r1r2+I.
即：
( r 1 + I ) ( r 2 + I ) ⊂ r 1 r 2 + I . (r_{1} + I)(r_{2} + I) \subset r_{1}r_{2} + I. (r1+I)(r2+I)⊂r1r2+I.
定义：
( r 1 + I ) ( r 2 + I ) = r 1 r 2 + I . (r_{1} + I)(r_{2} + I) = r_{1}r_{2} + I. (r1+I)(r2+I)=r1r2+I.
可见：两个陪集的乘积和所乘的陪集代表 r 1 , r 2 r_{1}, r_{2} r1,r2 无关，因此这个定义合理。
陪集的运算实际上归结于陪集代表的运算，故不难验证乘法结合律核分配律。因此，全体陪集所成的集合在如此规定的运算下成一个环。
定义1.11.1
设 I I I 是环 L L L 的一个理想。 L L L 对于 I I I 的陪集在上面的定义下所成的环称为 L L L 对于 I I I 的商环，记为 L / I L/I L/I.
不难看出：映射
σ ( a ) = a + I , a ∈ I . \sigma(a) = a + I, \ a\in I. σ(a)=a+I, a∈I.
是环 L L L 到商环 L / I L/I L/I 的一个满同态。这个同态的核就是理想 I . I. I.
故原定理成立：每个理想都是某个同态的核！ ■ \blacksquare ■
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