2024五一数学建模A题思路代码与论文分析

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2024五一数学建模A题钢板最优切割路径问题需要建立的模型和算法:

图论
最短路径算法(Dijkstra算法、Floyd算法等)
动态规划
网格化离散建模
组合优化
多目标优化

本文文章较长，建议先目录。经过不懈的奋战，目前我们已经完成了2024五一数学建模竞赛A题的40+页完整论文和代码，相关完整内容可见文末参考，

代码为A题全部问题的代码，论文包括摘要、问题重述、问题分析、模型假设、符号说明、模型的建立和求解（问题1模型的建立和求解、问题2模型的建立和求解、问题3模型的建立和求解、问题4模型的建立和求解）、模型的评价等等

文章较长，建议可以先看目录，部分图片如下：

摘要

本文针对钢板切割的工艺路径优化问题，从实际工程背景出发，通过分析影响切割路径的各种因素，提出了一系列具有针对性和创新性的数学模型和优化算法，有效地解决了从简单到复杂的一系列钢板切割优化问题。

针对直线切割路径优化问题，本文将其抽象为图论中的最小权重哈密尔顿回路问题，建立了以切割线段为边、切割起点和交点为节点的图模型。在此基础上，设计了一种基于动态规划的精确算法，通过预处理和状态压缩技术，将算法复杂度降低。本文的创新点在于，充分利用了切割路径的几何特征，提出了一种高效实用的动态规划算法，为后续复杂切割路径优化奠定了基础。

在复杂曲线切割优化问题中，本文提出了一种曲线离散化与逼近的方法，通过等距采样将圆弧、椭圆等曲线转化为折线段，从而将复杂切割简化为直线切割。在此基础上，本文设计了一种基于贪心构造和2-opt局部搜索的切割路径优化启发式算法。该算法首先按照贪心策略生成初始解，然后通过局部邻域搜索对解进行迭代改进。本文的一个创新点是，针对复杂切割提出了高效的离散化与局部搜索相结合的策略，在保证求解质量的同时大幅提升了计算效率。（后面的摘要略，见完整版本）

A题钢板最优切割路径问题

下面是2024五一数学建模A题的一个问题分析：

提高钢板下料切割过程中的工作效率，是模具加工企业降低成本和增加经济效益的重要途径，其中钢板切割的路径规划是钢板切割过程的一个关键环节。

钢板切割就是使用特殊的切割技术，基于给定的下料切割布局图纸对钢板进行加工。切割过程中设计切割路径至关重要，最优切割路径要满足空程最短的原则。

图1 钢板切割过程示意图

注：(1) 空程是指在切割设备所进行的一系列操作中不产生切割效果的水平运动路径(垂直运动路径不计入空程)；(2) 本题默认切割起始点均为右下角点(见各图所示)；(3) 本题下料切割布局图中的实线均为切割线。

请查阅相关资料，完成下列四个切割任务N1~N4：

问题1：给定如图2所示的下料切割布局N1，其中B3-B4为钢板边界线，不用切割，B1为切割起始点。请建立数学模型，设计最优切割路径方案，并给出最优切割路径的空程总长度。

图2 下料切割布局N1

问题2：给定下料切割布局N2见图3，构件的外边界切割成上下对称的锯齿状，同时内部切割出四个半径为3的圆形和一个椭圆形。请根据下料切割布局N2的参数信息，建立数学模型，设计最优切割路径方案，并给出最优切割路径的空程总长度。

切割起始点

图3 含多个孔的下料切割布局N2

问题3：给定下料切割布局N3见图4。N3与N2相比，需要在椭圆中多切割出12个矩形件(它们在椭圆中的位置是对称分布的，左右相邻的两个矩形件的中心距离为6，上下相邻的两个矩形件的中心距离为5)。请建立数学模型，设计最优切割路径方案，并给出最优切割路径的空程总长度(要求椭圆内部的所有矩形件要先于椭圆切割)。

切割起始点

图4 含矩形件嵌套的下料切割布局N3

问题4：给定下料切割布局N4见图5，需要在椭圆中切割出4个矩形小零件。由于小零件尺寸较小，为防止小零件掉落，两个相邻的小零件之间需要采用“过桥”的方式，使得相邻零件连接成一个大尺寸零件，要求“过桥”与矩形小零件顶点的最短距离至少为1。“过桥”的宽度为2，且在空程计算中不可以忽略“过桥”的宽度。

请根据N4的具体情况，建立数学模型，确定“过桥”的数目和位置，设计最优切割路径方案，给出最优切割路径的空程总长度(要求切割起始点设计在钢板的右下角，N4中的小圆形切割件不考虑过桥问题)。

切割起始点

图5 需要添加过桥的嵌套矩形件套料图N4

A题分析

下面是2024五一数学建模A题的一个问题分析：

A题是一个钢板最优切割路径问题,主要涉及最优化理论和组合优化的内容。该题给出了4个下料切割布局,需要针对每个布局建立数学模型,设计最优切割路径方案,使得切割过程中的空程总长度最小。

第一个子问题给出了一个较为简单的下料切割布局N1,主要是直线切割线组成的形状。对于这种情况,可以将整个切割过程建模为一个有向加权图,节点代表切割线段的交点,边代表切割线段,边的权重为该切割线段的长度。最优切割路径即为在该加权图中,从起点到终点的最短路径。可以使用经典的最短路径算法,如Dijkstra算法或Floyd算法等求解。同时需要注意,某些边是不需要实际切割的,即边的权重为0。

第二个子问题给出的下料切割布局N2相对复杂一些,包含有多个圆形和椭圆形的切割孔洞。对于这种情况,可以考虑将整个切割区域离散化为一个网格,每个网格点代表一个潜在的切割位置。然后使用动态规划的思想,从起点开始,按照一定的策略扩展到相邻的网格点,直至到达终点,记录下扩展过程中的最短路径及其长度。这种方法的优点是可以很好地处理曲线切割线,缺点是计算复杂度较高。

第三个子问题在N2的基础上,在椭圆形内部增加了一些矩形切割件的设计,且要求这些矩形件必须先于外部曲线切割。这就增加了切割路径的优先级限制。在前面网格模型的基础上,需要给予内部矩形件更高的优先级,确保它们会被先行切割。可以考虑在动态规划的转移方程中加入相应的约束条件。

第四个子问题在N3的基础上,要求在切割内部矩形小零件时,需要添加过桥的设计,过桥的宽度在计算空程长度时也需要考虑在内。这就使得问题变成了一个多目标优化问题,需要在最小化空程长度的同时,优化过桥的数目和位置。过桥的数目和位置可以作为额外的决策变量,加入到目标函数和约束条件中。在上述网格模型的基础上,需要对过桥变量进行建模,并设计合适的求解算法。

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