【论文阅读：Towards Efficient Data Valuation Based on the Shapley Value】

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基于Shapley值的高校数据价值评估

主要贡献

提出了一系列用于近似计算Shapley值的高效算法。
设计了一个算法，通过实现不同模型评估之间的适当信息共享来实现这一目标,该算法具有可证明的误差保证来近似N个数据点的SV，其模型评估数量为 $O(\sqrt Nlog(N)^2)$
- 这个算法依赖于学习算法的稳定性，对于复杂的ML模型，如深度神经网络，这很难证明。
此外，如果合理假设SV在“稀疏”的意义上仅有少数数据点具有显著值，那么我们可以进一步将模型训练数量减少到 $O (l o g l o g (N))$
- 在第二个算法中，不得不做出的妥协是，所得到的SV估计不再具有关于近似误差的可证保证。
值得注意的是，这两个算法对计算SV的上下文是不可知的；因此，它们在数据估值之外的应用中也是有用的。

1.Introduction

处理数据估值问题的一种自然方法是采用博弈论的观点，其中将每个数据贡献者建模为合作博弈中的玩家，并通过效用函数来表征来自任何贡献者子集的数据的有用性。
Shapley值（SV）是合作博弈理论中的经典方法，用于分配所有玩家联盟生成的总收益，并已应用于各个领域的问题。
SV定义了一个独特的利润分配方案，满足一系列具有吸引力的现实世界解释的属性，如公平性、合理性和去中心化性。精确计算SV所需的效用函数评估次数随着参与者数量呈指数增长。

2. 相关工作

3.问题的表述

考虑一个包含来自N个用户的数据的数据集 $D=\{z_i\}^N_{i=1}$
用 $U (S)$ 表示效能（价值）函数，表示通过对 $\{Z_i\}_i\in S$ 的加法聚合计算出的总价值，其中 $S\subseteq I=\{1,...,N\}$ .
假设U(∅) = 0
我们的目标是分配 $U_{tot}$ 分配给各个用户。
我们想要找到一个效能函数U，将 $s (U, i)$ 分配给用户。

Shapley值（SV）是合作博弈论中的一个经典概念，用于将所有玩家联盟产生的总收益归因于各个玩家。给定效用函数U(·)，用户i的SV被定义为 $z_i$ 对由其他用户组成的数据集 $D = \{z_i\}_{i∈I}$ 的所有可能子集的平均边际贡献：
$s_i=\sum_{S\subseteq I\{i \}} \frac{1}{N\bigl( \begin{smallmatrix} N-1\\ |S| \end{smallmatrix} \bigr)}[U(S\cup\{i\}-U(S)] \qquad(1)$

等价于：
$s_i = \frac{1}{N!} \sum_{\pi \in \Pi(D)} \left[ U(P^{\pi}_i \cup \{i\}) - U(P^{\pi}_i) \right]$

在这里， $π \in Π (D)$ 是用户的一个排列， $P_{\pi_i}$ 是排列 $π$ 中排在用户 $i$ 前面的用户集合。直观地说，想象一下所有用户的数据按随机顺序被收集，每个用户 $i$ 得到的是他的数据对已经收集到数据的用户带来的边际贡献。如果我们将这些贡献在所有可能的用户顺序上平均，就得到了 $s_i$ 。Shapley值的重要性在于它是唯一的价值分配方案，满足以下可取性质:
以下是用LaTeX表示的上述性质：

Group Rationality:
$\sum_{i \in I} s_i$
Fairness(公平性):
- (1) 对于相同贡献的两个用户，它们应具有相同的价值。
  若 $\cup \{i\}) = U(S \cup \{j\}), \forall S \subseteq I \setminus \{i, j\},$ 则 $s_i = s_j$
- (2) 对于对数据集的所有子集都没有边际贡献的用户，其价值为零。若 $\cup \{i\}) = 0$ , 对于所有 $\subseteq I \setminus \{i\}$ , 则 $s_i = 0$
Additivity(可加性)
$\text{ 对于 } i \in I$

4. 高效的Shapley值估计

采用Shapley值的挑战在于其计算成本。使用公式（1）评估准确的Shapley值涉及计算每个用户对每个联盟的边际效用，其时间复杂度为O(2^N)。
在本文中将以 $l_2$ 范数来衡量近似误差。 $\hat{s} \in \mathbb{R}^N$ 是真实Shapley值 $[s_1, \ldots , s_N]^T \in \mathbb{R}^N$ 的 $(\epsilon, \delta)$ -近似，即满足 $P[||\hat{s}_i - s_i||_p \leq \epsilon] \geq 1 - \delta$ 。

4.1 基准方法：排列抽样

$\pi$ 一个关于 $I$ 的随机排列，每个排列出现的可能均为 $1/ N!$
$\phi_i$ 表示该排列下的边际贡献为 $U(P^{\pi}_i\cup\{i\})-U(P^{\pi}_i)$ ，根据公式2有 $s_i = \mathbb E[\phi_i]$
根据Hoeffding’s Bound（霍夫丁界）不等式，该公式说明在大量独立观测的情况下，实际观测到的样本均值 $S_n$ 距离总体均值μ 的偏离（以ϵ 表示）超过一定阈值的概率有一个严格的上限。这个上限随着样本数量n 的增加而指数级下降，表明样本均值会以很高的概率集中在总体均值附近。
$P\left(\left|S_n - \mu\right| \geq \epsilon\right) \leq 2 \exp\left(-\frac{2n\epsilon^2}{\sum_{i=1}^{n}(b_i - a_i)^2}\right)$
Hoeffding不等式的一个应用指出，在达到一个(ε, δ)近似解时所需排列的数量 $m_{perm}$ 可以通过以下公式计算得出： $m_{\text{perm}} = \left(\frac{2r^2N}{\varepsilon^2}\right) \log\left(\frac{2N}{\delta}\right)$

$m_{perm}$ 表示所需的排列次数。
ε 是设定的近似误差值。
$\delta$ 是允许的失败概率（置信水平）。
N 是被排列的数据集或总体的大小。
r 表示效用函数的取值范围，即效用函数在所有可能输入上最大值与最小值之差。

因为我们需要计算出N个用户的边际效应，所以我们可以将其表示为：
$m_{eval}=N\times m_{perm}$
简化后用大O记法为：
$m_{eval}=O(N^2logN)$

在机器学习任务中，我们可以将效用函数写作 $U(S)=U_m(A(S))$ ，其中A(⋅) 是一个映射数据集
S 到模型的学习算法，而 $U_m(⋅)$ 是衡量模型性能的一些指标，比如测试准确率。通常情况下，与效用评估相关的大部分计算成本在于执行 A(⋅)，即训练模型的过程。
在这种情况下，针对每一个排列，仅需对包含所有N 个用户的训练集进行一次完整的遍历（一次训练过程），就能通过增删单个用户的数据逐步得到每个用户i 对于最终模型性能的影响，即其边际贡献 $\phi_i$ ,也就是说一次训练可以得到N个用户的边际贡献。
所以在具备增量训练特性的模型训练算法下，要达到一个近似解所需要的模型训练次数实际上就等于 $m_{perm}$ :
$m_{model\_train}=m_{perm}=O(NlogN)$
这意味着即使在处理大规模数据集时，通过增量训练的方式，我们也能在一定程度上减少模型训练的迭代次数，从而优化算法的整体效率。

4.2 群组检测方法

这种群组检测（Group Testing）方法通常涉及将多个个体（例如用户或数据点）分组成群组，然后同时对整个群组进行效用评估，而不是单独评估每个个体。这样做的好处在于，通过合并处理信息，可以在某些条件下大幅降低评估次数。

目标是通过尽可能少的测试，来评估所有用户子集的效用。这可以有效地减少计算成本。

假设共有T次测试，在第t次测试时，从用户集合 $I$ 中随机抽取一组用户，并对所选用户集合的效能进行评估。对于用户i和用户j的测试中的表现用布尔随机变量 $\beta_i$ 和 $\beta_j$ 来表示，所以用户i和j的效能之差如下：
$(\beta_i-\beta_j)U(\beta_1,...,\beta_N)$
$U(\beta_1,...,\beta_N)$ 是在那些布尔出现随机变量为1的用户上评估出的整体效用函数值。
引理1:对于任意 $\in I$ ，两者之间的SV差异为（这是作者推导出来的）：
$s_i - s_j = \frac{1}{N-1} \sum_{S \subseteq I \setminus \{i,j\}} \frac {U(S \cup \{i\}) - U(S \cup \{j\})}{\dbinom{N-2}{|S|}}$

引理2：假设 $C_{ij}$ 是一个对于 $s_i - s_j$ 的 $(\varepsilon/(2\sqrt N),\delta/(N(N-1)))分布的近似$
$\sum_{i=1}^{N} \hat{s}_i = U_{\text{tot}} \quad (5) \newline \left| (\hat{s}_i - \hat{s}_j) - C_{ij} \right| \leq \frac{\varepsilon}{2\sqrt{N}} \quad \forall i, j \in \{1, \ldots, N\} \quad (6)$

引理3：说明了在给定一定的测试数量的情况下，Algorithm 1可以提供对Shapley值（SV）的近似。这个近似是相对于l2-范数的，而且具有一定的误差限制（ε, δ）。换句话说，如果我们有足够数量的测试，并且满足了定理中的条件，那么我们可以使用Algorithm 1来近似计算SV，并且这个近似是有一定保证的。

4.3算法解读

4.3.1 Group Testing Based SV Estimation（GTB-Shapley）

在这里插入图片描述

输入
- N个参与方的数据集D
- 效用评估函数U(·)
- 测试的轮数T
输出
- 每个参与方的估计SV
初始化
- 首先计算Z和q(k),其中Z是一个常数，q(k)是一个与k有关的权重。
- 初始化 $\beta_{ti}$ 为0
测试过程
- 循环迭代T次
  - 首先，从权重q(k)中随机选择一个值k，表示这一轮测试中将从样本中选择k个点进行测试。
  - 接着，对于每个选定的测试集，通过均匀抽样从{1, …, N}中选择k个点，将这些点作为测试集。
  - 对于每个测试集，计算其效用 $u_t = U({i : β_{ti} = 1})$ ，即测试集中被标记为1的点的效用之和。
- SV差异计算：通过测试集的效用，计算每对样本之间的SV差异 $U_{ij}$
- 解决可行性问题：通过解决一个可行性问题，找到一个解 $\hat s$ ，使得其满足约束条件，其中约束条件要求每对样本之间的SV差异与估计值的差异不超过一定阈值。
- 输出结果：输出估计的SV值 $\hat s$ 。

4.3.2 Compressive Permutation Sampling（压缩置换采样）

这个算法需要一定的前置知识，看不懂的朋友可以先了解一下Permutation Test
在这里插入图片描述

输入
- N个参与方的数据集D
- 效用评估函数U(·)
- 测量数量M
- 置换数量T
输出
- 每个参与方的估计SV
初始化
- :算法首先通过Bernoulli矩阵A进行随机抽样，其中 $A_{m,i} ∈ \{-1/\sqrt M, 1/\sqrt M\}$ ，这个过程用于压缩数据，减少测量数量。
循环过程
- 对于N个参与方生成一个随机序列 $\pi_t$
- 置换过程：对于每个置换 $π_t$ ，算法计算每个样本点的置换效用差异 $\phi^t_i$ 。
- 测量过程：对于每个置换，算法根据压缩矩阵A对置换效用差异进行测量，得到 $\hat y_{m,t}$
收尾阶段
平均值计算：算法计算每个测量的平均值，得到 $\overline y_m$
约束问题求解：算法解决一个约束最小化问题，寻找一个Δs，使得在满足约束条件的情况下， $A(\overline s + Δs)$ 与 $\overline y$ 的二范数误差最小化。
输出结果：输出估计的SV值 $\hat s$ 。