时间延迟嵌入定理 Time-Delay Embedding Theorem 以及C++实现例子

本文主要是介绍时间延迟嵌入定理 Time-Delay Embedding Theorem 以及C++实现例子,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

时间延迟嵌入定理(Time-Delay Embedding Theorem),也称为Takens嵌入定理,由荷兰数学家Floris Takens在1981年提出。这个定理在动力系统理论中非常重要,特别是在从实验数据重建动力系统的状态空间模型方面具有广泛应用。时间延迟嵌入定理为我们提供了一种方法,通过观测到的单一时间序列数据来重构整个动力系统的相空间,即便原系统的全部状态变量未知。

基本概念

在动力系统分析中,我们通常希望从系统的状态向量演化来理解系统行为。然而,在实际应用中,我们可能无法直接观察到全部的状态变量,而只能获取单一或有限几个变量的时间序列数据。

定理内容

Takens定理指出,如果我们有一个光滑的动态系统,并从中测量一个变量,那么通过将这个变量在不同时间点的值组成向量(通过时间延迟嵌入),就有可能在一个高维空间中重构出与原系统动力学等价的相空间。具体来说,这个过程是通过构造一个向量序列来实现的:
[ x ( t ) = [ x ( t ) , x ( t + τ ) , x ( t + 2 τ ) , … , x ( t + ( m − 1 ) τ ) ] ] [ \mathbf{x}(t) = \left[ x(t), x(t+\tau), x(t+2\tau), \dots, x(t+(m-1)\tau) \right] ] [x(t)=[x(t),x(t+τ),x(t+2τ),,x(t+(m1)τ)]]
其中, x ( t ) x(t) x(t)是观测的时间序列数据,$ τ \tau τ是选定的时间延迟, m m m是嵌入维数,通常由数据和应用决定。

选择延迟和维数

  • 延迟 τ \tau τ:选择一个合适的延迟是关键,这通常通过数据的自相关函数或互信息函数来确定,以确保嵌入向量的各个分量不是完全相关的。
  • 嵌入维数 m m m:理论上,嵌入维数至少应该是系统自由度的两倍加一。在实践中,选择嵌入维数通常依赖于假设最小数据冗余和避免过度拟合之间的权衡。

C++实现

要在C++中实现时间延迟嵌入,你需要做的是从原始的时间序列数据中创建一个新的矩阵或向量集,其中每个向量都包含了原始数据中以特定时间延迟为间隔的点。下面是一个C++代码示例,展示了如何从一个给定的信号 x(t) 创建一个时间延迟嵌入矩阵:

#include <iostream>
#include <vector>// 函数用于生成时间延迟嵌入矩阵
std::vector<std::vector<double>> timeDelayEmbedding(const std::vector<double>& signal, int m, int tau) {// 确保输入的参数有效int N = signal.size();int embeddedLength = N - (m - 1) * tau;if (embeddedLength <= 0) {std::cerr << "Error: The combination of embedding dimension and delay is too large." << std::endl;return {}; // 返回空矩阵}std::vector<std::vector<double>> embedding(embeddedLength, std::vector<double>(m));// 填充嵌入矩阵for (int i = 0; i < embeddedLength; ++i) {for (int j = 0; j < m; ++j) {embedding[i][j] = signal[i + j * tau];}}return embedding;
}int main() {// 示例信号数据std::vector<double> signal = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0};// 嵌入维度和时间延迟int m = 3;  // 嵌入维度int tau = 1;  // 时间延迟// 生成时间延迟嵌入矩阵std::vector<std::vector<double>> embeddedMatrix = timeDelayEmbedding(signal, m, tau);// 打印结果std::cout << "Time-Delay Embedded Matrix:" << std::endl;for (const auto& row : embeddedMatrix) {for (double val : row) {std::cout << val << " ";}std::cout << std::endl;}return 0;
}

打印结果为:
Time-Delay Embedded Matrix:
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6 7
6 7 8
7 8 9
8 9 10

当 int m = 3; // 嵌入维度
int tau = 2; // 时间延迟
时,输出的结果为:
1 3 5
2 4 6
3 5 7
4 6 8
5 7 9
6 8 10

代码解释:

  1. 函数定义timeDelayEmbedding接受原始信号(signal),嵌入维度(m)和时间延迟(tau)作为输入。
  2. 错误处理:检查生成的嵌入矩阵长度是否合法。
  3. 嵌入过程:通过两层循环生成时间延迟嵌入矩阵。外层循环控制行,内层循环控制列,即每个时间点的延迟数据。
  4. 打印结果:在主函数中,生成的嵌入矩阵被打印出来,以便于验证结果。

总结

时间延迟嵌入可以使我们通过时间序列中的单变量观测数据来重构系统的动态特性,但它并不增加新的信息量。所有的信息都是从原始信号中提取的,时间嵌入的向量通过映射保存了原始系统的动力学特征,但没有新增额外的信息。这使得时间嵌入方法成为了理解和分析复杂系统行为的有力工具。它特别适用于那些难以获得系统全部状态信息的场景。

这篇关于时间延迟嵌入定理 Time-Delay Embedding Theorem 以及C++实现例子的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/940418

相关文章

python实现svg图片转换为png和gif

《python实现svg图片转换为png和gif》这篇文章主要为大家详细介绍了python如何实现将svg图片格式转换为png和gif,文中的示例代码讲解详细,感兴趣的小伙伴可以跟随小编一起学习一下... 目录python实现svg图片转换为png和gifpython实现图片格式之间的相互转换延展:基于Py

Python利用ElementTree实现快速解析XML文件

《Python利用ElementTree实现快速解析XML文件》ElementTree是Python标准库的一部分,而且是Python标准库中用于解析和操作XML数据的模块,下面小编就来和大家详细讲讲... 目录一、XML文件解析到底有多重要二、ElementTree快速入门1. 加载XML的两种方式2.

Java的栈与队列实现代码解析

《Java的栈与队列实现代码解析》栈是常见的线性数据结构,栈的特点是以先进后出的形式,后进先出,先进后出,分为栈底和栈顶,栈应用于内存的分配,表达式求值,存储临时的数据和方法的调用等,本文给大家介绍J... 目录栈的概念(Stack)栈的实现代码队列(Queue)模拟实现队列(双链表实现)循环队列(循环数组

C++如何通过Qt反射机制实现数据类序列化

《C++如何通过Qt反射机制实现数据类序列化》在C++工程中经常需要使用数据类,并对数据类进行存储、打印、调试等操作,所以本文就来聊聊C++如何通过Qt反射机制实现数据类序列化吧... 目录设计预期设计思路代码实现使用方法在 C++ 工程中经常需要使用数据类,并对数据类进行存储、打印、调试等操作。由于数据类

Python实现图片分割的多种方法总结

《Python实现图片分割的多种方法总结》图片分割是图像处理中的一个重要任务,它的目标是将图像划分为多个区域或者对象,本文为大家整理了一些常用的分割方法,大家可以根据需求自行选择... 目录1. 基于传统图像处理的分割方法(1) 使用固定阈值分割图片(2) 自适应阈值分割(3) 使用图像边缘检测分割(4)

Android实现在线预览office文档的示例详解

《Android实现在线预览office文档的示例详解》在移动端展示在线Office文档(如Word、Excel、PPT)是一项常见需求,这篇文章为大家重点介绍了两种方案的实现方法,希望对大家有一定的... 目录一、项目概述二、相关技术知识三、实现思路3.1 方案一:WebView + Office Onl

C# foreach 循环中获取索引的实现方式

《C#foreach循环中获取索引的实现方式》:本文主要介绍C#foreach循环中获取索引的实现方式,本文给大家介绍的非常详细,对大家的学习或工作具有一定的参考借鉴价值,需要的朋友参考下吧... 目录一、手动维护索引变量二、LINQ Select + 元组解构三、扩展方法封装索引四、使用 for 循环替代

Spring Security+JWT如何实现前后端分离权限控制

《SpringSecurity+JWT如何实现前后端分离权限控制》本篇将手把手教你用SpringSecurity+JWT搭建一套完整的登录认证与权限控制体系,具有很好的参考价值,希望对大家... 目录Spring Security+JWT实现前后端分离权限控制实战一、为什么要用 JWT?二、JWT 基本结构

Java实现优雅日期处理的方案详解

《Java实现优雅日期处理的方案详解》在我们的日常工作中,需要经常处理各种格式,各种类似的的日期或者时间,下面我们就来看看如何使用java处理这样的日期问题吧,感兴趣的小伙伴可以跟随小编一起学习一下... 目录前言一、日期的坑1.1 日期格式化陷阱1.2 时区转换二、优雅方案的进阶之路2.1 线程安全重构2

Android实现两台手机屏幕共享和远程控制功能

《Android实现两台手机屏幕共享和远程控制功能》在远程协助、在线教学、技术支持等多种场景下,实时获得另一部移动设备的屏幕画面,并对其进行操作,具有极高的应用价值,本项目旨在实现两台Android手... 目录一、项目概述二、相关知识2.1 MediaProjection API2.2 Socket 网络