数理统计复习笔记七——列联表的独立性检验

本文主要是介绍数理统计复习笔记七——列联表的独立性检验，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. 一般的二维列联表

	$B_1$	$B_2$	$\cdots$	$B_s$	合计
$A_1$	$n_{11}$	$n_{12}$	$\cdots$	$n_{1s}$	$n_{1\cdot }$
$A_2$	$n_{21}$	$n_{22}$	$\cdots$	$n_{2s}$	$n_{2\cdot }$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\cdots$	$⋮$	$⋮$
$A_r$	$n_{r1}$	$n_{r2}$	$\cdots$	$n_{rs}$	$n_{r\cdot }$
合计	$n_{\cdot 1}$	$n_{\cdot 2}$	$\cdots$	$n_{\cdots }$	$n$

其中，$n_{i\cdot }=\sum _{j=1}^s{n}_{ij}$，$n_{\cdot j}=\sum _{i=1}^r{n}_{ij}$，此时指标$A,B$分别有$r,s$个水平，且以$n_{ij}$表示在$n$个样本中属于$A_i\cap B_j$的样本个数。

2. 假设

考虑两个指标之间是否独立，即$$H_0:指标A与B独立或指标A与B没有关系\text{\hspace{1em}(1)}$$
如记 p i j = P { X ∈ A i ∩ B j } p_{ij}=P\{X\in A_i\cap B_j\} pij​=P{X∈Ai​∩Bj​}，则这$n$个样本可以看成来自多项分布$X$的样本。

再记 p i ⋅ = P { X ∈ A i } , i = 1 , ⋯ , r p_{i\cdot}=P\{X\in A_i\}, i=1,\cdots,r pi⋅​=P{X∈Ai​},i=1,⋯,r， p ⋅ j = P { X ∈ B j } , j = 1 , ⋯ , s p_{\cdot j}=P\{X\in B_j\}, j=1,\cdots,s p⋅j​=P{X∈Bj​},j=1,⋯,s，则有$p_{i\cdot }=\sum _{j=1}^s{p}_{ij}$，$p_{\cdot j}=\sum _{i=1}^r{p}_{ij}$，且有如下约束$$\sum _{i=1}^r{p}_{i\cdot }=\sum _{j=1}^s{p}_{\cdot j}=1\text{\hspace{1em}(2)}$$

当$H_0$成立时，应该有$p_{ij}=p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}$，于是假设$(2)$等价于$$H_0:p_{ij}=p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}\text{\hspace{1em}(3)}$$

3.检验

由于我们可以把上述列联表数据看作时多项分布的样本，故可以用${\chi }^2$拟合优度检验对其独立性假设$(3)$进行显著性检验。

不过由于$p_{i\cdot }$和$p_{\cdot j}$均未知，且有约束$(2)$，故当$H_0$成立时，共有$r+s-2$个未知参数，此时，其未知参数的极大似然估计为$${\hat{p}}_{i\cdot }=\frac{n_{i\cdot }}{n},{\hat{p}}_{\cdot j}=\frac{n_{\cdot j}}{n}$$

于是有统计量为$${\chi }^2=n\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s\frac{(n_{ij}-\frac{n_{i\cdot }{n}_{\cdot j}}{n}{)}^2}{n_{i\cdot }{n}_{\cdot j}}\text{\hspace{1em}(4)}$$

且当$H_0$成立及$n\to \infty$时，有${\chi }^2\to {\chi }^2((r-1)(s-1))$
于是，拒绝域为 W = { χ 2 ≥ χ α 2 ( ( r − 1 ) ( s − 1 ) ) } (5) W=\{\chi^2\ge\chi^2_\alpha((r-1)(s-1))\}\tag5 W={χ2≥χα2​((r−1)(s−1))}(5)

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