再论图像变化和频率的关系(使用数学工具)。

2024-04-22 13:44

本文主要是介绍再论图像变化和频率的关系(使用数学工具)。,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

我之前是做了一些探讨,但是没说清楚,现在再看这个问题。

我先提出这个问题。

以以为点列为例,先写成傅里叶级数的形式,不过这里不是三角函数形式,而是指数形式,是一样的。

对f(n)求导,就可以观察变化率了。但是我暂且不这样做,因为我先从直观感受出发。如果f(n+1)-f(n)较大说明了这个位置的像素变化快,那么在三角函数中该如何显示呢?把上图的指数函数看成是三角函数,所以差值f'(n)是跟频率有关,也跟三角级数的幅值F(k)有关。在连续函数的傅里叶级数求导中,如下图所示:

n跟频率有关,确实也说明了这一点。但是问题是在连续函数中,n是无数多个,而f'(x)的值是确定的,到底是多少个频率nk影响了f'(k)的值呢?连续的不好解决,现在看离散的级数的情况。

由于这里是有限个点,所以问题变简单了。

N个频率,只有一个频率k使得Fk*e^{i*2\pi *n*k/N}的绝对值最接近f'(n),然后其余N-1个F(k)作向量加法等于f'(n)。但是这样想无助于问题,那就利用方程组的思想吧。

已知有N个不同频率的正弦函数ck(n)和余弦函数sk(n)建立方程组

\sum_{k=0}^{N-1}Fk*[ck(n)+i*sk(n)]=fn

这样看不方便,用指数函数代替,设为en(k)=ck(n)+i*sk(n),即是

\sum_{k=0}^{N-1}Fk*en,k=fn,写成矩阵形式: E*(F0,F1,...,F(N-1))'=(f0,f1,...,f(N-1))'。

Fk的下标k表示频率,fn的下标n表示位置。

情况本身是这样的,首先是取了fn的N个点,然后由于N确定了矩阵E。所以可以求出来唯一解Fk。

但是问题是若f(m+1)-f(m)较大,则可能只是存在极少数比如l个的kl,跟这个差值非常接近。

E中的(n,k)元是第n行第k列元素,代表在复平面上x轴上的单位向量逆时转旋转2\pikn/N个角度,

可以看出来这是个对称矩阵。我不分析了,网上有傅里叶变换的矩阵分析,是范德蒙矩阵,还是个正交矩阵,也是对称矩阵。

设En表示矩阵的行向量, n是空间域的位置。

现在计算f(n+1)-f(n)=[E(n+1)-E(n)]*F

En看不出来是什么,但是矩阵E具有对称性,所以En(k)=E(k,n), 设Ek=E(k,n),实际上Ek代表的是在空间域上频率为k的一位置n为定义域的正弦函数和余弦函数对。

所以f(n+1)-f(n)=[E(n+1)-E(n)]*F表示: 当f(n)分解为三角函数的时候,变化率为两个相邻的正弦函数和余弦函数对的差值和F的内积。而三角函数早就已经固定了。

反正正弦函数与余弦函数都是在一个周期内,等分成了N个点。

f(n+1)-f(n)=[E(n+1)-E(n)]*E^(-1)*f', 由于E是对称矩阵,且是正定矩阵,则E^(-1)=E。

所以f(n+1)-f(n)=f(n+1)-f(n)。这只能说明我没有推到错误。但是k呢?我希望看到的是关于k的函数。由于对称性En已可以理解为在频率为n的时候,不同位置的三角函数值,Fk的k也可以理解为位置上的权重。所以也可以理解为不同频率上的差值的向量的内积。

所以到底是理解为在位置n和n+1处的两个相同频率的三角函数的差值,还是理解为在频率为n+1和n处的两个相同位置的三角函数的差值。为了不累加频率,那只能理解为Fk是关于位置的权重。但是依然没用。我需要的是在频率为n的时候,减少该频率的F(n)的值或者F(n)附近的值,就能改变位置n的或者附近的变化率。(利用数学工具都无法说明,那我只能从算法看了。)

这篇关于再论图像变化和频率的关系(使用数学工具)。的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



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