[蓝桥杯 2019 省 B] 等差数列 |数学、最大公约数gcd、等差数列

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P8682 [蓝桥杯 2019 省 B] 等差数列 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

 1.等差数列 - 蓝桥云课 (lanqiao.cn)

说明：

思路：

这道题首先想到的是先排序，因为等差数列是有一个大小顺序的。在这里按升序排，把数列看成非递减的，然后找出最小的差值，因为对于相差最小的这两个数，如果再把差值定大一点，这两个数就不能构成等差数列，再定小一点，要使这两个数构成等差数列就需要在中间插入数，就变长了，所以要尽在保持能够组成等差数列的同时可能少插入，所以以这两个数的差值做等差数列的差值，其他的两个数之间插入数来构成等差数列。

这样想好像没问题，但是：

如果最小差值为2d，某两项ai，ai+1差值为3d，那么就无法插入一个整数使得ai、插入的数、ai+1变成等差数列

于是就要找差值的最大公约数，因为只有公差为每个差值的约数才能在两个数之间插入自然数（从0开始的整数） 个 数字，使得序列变成等差数列。结合之前的要找大一点的数做公差，减少插入的数，使数列最短，那么就是找最大公约数了。

再用另一种说法来说明：对于等差数列有公式(an-a1) / d =n-1，d为公差。
因为要最短，不可能再添加比an更大的数或者比a1更小的数，那会使数列更长。所以(an-a1) 就确定了，于是当d越大，项数n越小。所以要保证序列为等差数列的同时，保证公差d最大。

因为该序列是等差数列的子序列。所以相邻两项的差一定是公差的倍数，即公差是所有相邻两项差的公约（因）数。我们的目标是公差d最大，那就求出序列所有相邻两项差的最大公因数， 最大公因数就是最大公差。

注意点：

1.1.C++库自带求最大公约数的函数，__gcd(a,b)。

2.公差为0的情况的特判

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;
const int N=1e5+10;
//先排序，按升序排，因为等差数列一定是非递减的，然后找出最小的差值，因为 
//对于相差最小的这两个数，如果再把差值定大一点，这两个数就不能构成等差数列，
//再定小一点，要使这两个数构成等差数列就需要在中间插入数，就变长了，
//所以要尽在保持能够组成等差数列的同时可能少插入，所以以这两个数的差值做等差数列的差值，其他的两个数之间插入数
// 找差值的最大公约数
int n;
int ans=0;
int a[N];
signed main(){//关同步！！！ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0); cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){cin>>a[i];}sort(a,a+n);int diff=__gcd(a[1]-a[0],a[2]-a[1]);for(int i=3;i<n;i++){diff=__gcd(a[i]-a[i-1],diff);}//等差数列 差值为0的情况if(diff==0) ans=n;elseans=(a[n-1]-a[0])/diff +1;cout<<ans;return 0;
} 

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