《学一辈子光线追踪》 五 产生随机方向

2024-04-07 20:38
文章标签 方向 产生 随机 一辈子 追踪 光线

本文主要是介绍《学一辈子光线追踪》 五 产生随机方向，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

蒙特卡洛光线追踪技术系列 见 蒙特卡洛光线追踪技术

这一节结束后，我会对前面的关于概率和光线追踪的知识进行一下总结和归纳。

在本章和下两章中，让我们加强理解和工具，找出哪个康奈尔盒子的渲染结果是正确的。我们先来看看如何生成随机方向，但为了简化，我们假设z轴是曲面法向，theta是与法向的夹角。我们将在下一章中把它们定向到曲面法向量。我们只讨论关于z的旋转对称分布，所以p(direction) = f(theta)。如果你有学过高级微积分，你可能记得在球坐标系的球面上 dA = sin(theta)*dtheta*dphi 。如果你没有，下一步你必须遵守我说的，但当你学习过高级微积分时你会得到它。

给定球面上的方向pdf，p(direction) = f(theta)，theta和phi上的一维pdf为：

a(phi) = 1/(2Pi)  (是uniform的)
b(theta) = 2*Pi*f(theta)sin(theta) （说明竖直方向的pdf与sin(theta)相关）

对于均匀随机数r1和r2，第2章中介绍的材料得到：

r1 = INTEGRAL_0^phi (1/(2*Pi)) = phi/(2*Pi)

即 ：\int_{0}^{phi} (1/(2*Pi))

解 phi 我们得到：

phi = 2*Pi*r1

对theta 我们有：

r2 = INTEGRAL_0^theta 2*Pi*f(t)sin(t)

即 ：\int_{0}^{theta} (2*Pi*f(t)*sin(t))

这里，t是一个伪变量。让我们为f() 尝试一些不同的函数。

一、让我们先在球体上尝试均匀的密度。单位球的面积是4Pi，因此单位球上的均匀 p(direction) = 1/(4Pi)。f(theta)=p(direction)，代进去计算得：

r2 = -cos(theta)/2 - (-cos(0)/2)= (1 - cos(theta))/2

解 cos(theta) 得到：

cos(theta) = 1 - 2*r2

我们不为theta求解，因为我们可能只需要知道cos(theta)，也不希望不必要的 acos() 调用到处运行。

要生成朝向 (θ，phi) 的单位矢量方向，我们将其转换为笛卡尔坐标：

x = cos(phi)*sin(theta)
y = sin(phi)*sin(theta)
z = cos(theta)

利用cos^2+sin^2=1的恒等式，我们得到以下随机项 (r1,r2):

x = cos(2*Pi*r1)*sqrt(1 - (1-2*r2)^2)
y = sin(2*Pi*r1)*sqrt(1 - (1-2*r2)^2)
z = 1 - 2*r2

简化一点，(1-2*r2)^2 = 1 - 4*r2 + 4*r2^2，所以：

x = cos(2*Pi*r1)*2*sqrt(r2*(1-r2))
y = sin(2*Pi*r1)*2*sqrt(r2*(1-r2))
z = 1 - 2*r2

我们可以输出来显示。为了方便这里就用OpenGL来进行显示：

#include <stdlib.h>
/*Note that the __glut*WithExit routines should NEVER be called directly.
To avoid the atexit workaround, #define GLUT_DISABLE_ATEXIT_HACK.*/
#define GLUT_DISABLE_ATEXIT_HACK
#include "glut.h"#include<gl/glu.h>
#include<gl/gl.h>#include "vec3.h"
#define WIDTH 500
#define HEIGHT 500
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include "time.h"
#define M_PI 3.14159265
GLfloat viewR = 8.0;  //曾经的
float x_k = 1, y_k = 1;//因为坐标轴可能反转，所以设置一个系数。
float upValue = 1.0;
GLuint mainw, subw1;
float OrthoLength = 5.0;
float x_y_cor = 45;
float z_cor = 45;
int flag = 0; //判断是否按下的flag
static int current_Dot[2] = { 0, 0 };
float dx, dy;double myRandom() {return rand() / (RAND_MAX + 1.0);
}void display(void) {glClearColor(1.0f, 1.0f, 1.0f, 0.0f);glLineWidth(1.0);glMatrixMode(GL_PROJECTION);glLoadIdentity();//glOrtho(-OrthoLength, OrthoLength, -OrthoLength*((double)screenheight/(double)screenwidth)//, OrthoLength*((double)screenheight / (double)screenwidth), 0.1, 100);  //把世界坐标宽6.0高6.0的世界放入视口中。gluPerspective(45, (double)HEIGHT / (double)WIDTH, 0.1, 100);glMatrixMode(GL_MODELVIEW);glLoadIdentity();//第二个是z     gluLookAt(x_k*viewR * cos(z_cor*M_PI / 180)*cos(x_y_cor*M_PI / 180), viewR * sin(z_cor*M_PI / 180),y_k*viewR * cos(z_cor*M_PI / 180)* sin(x_y_cor*M_PI / 180), 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, upValue, 0.0);//第一个是 两箭头 第二个是 一箭头  第三个是 三箭头glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);glColor3d(1.0, 0, 0);glutSwapBuffers();
}
void myMouse(int button, int state, int x, int y) {if (state == GLUT_DOWN){if (button == GLUT_LEFT_BUTTON){flag = 1;current_Dot[0] = x; current_Dot[1] = HEIGHT - y;}}else if (state == GLUT_UP) {if (button == GLUT_LEFT_BUTTON) {flag = 0;}}
}void myMovedMouse(int x, int y) {if (flag == 1){dy = HEIGHT - y - current_Dot[1];dx = x - current_Dot[0];z_cor = z_cor - dy / 3;if (z_cor<-360) {z_cor = z_cor + 360;}else if (z_cor > 360) {z_cor = z_cor - 360;}if ((z_cor > 90 && z_cor<270) | (z_cor<-90 && z_cor>-270)) {upValue = -1.0;}else {upValue = 1.0;}x_y_cor = x_y_cor + dx / 3;if (x_y_cor > 360) {x_y_cor = x_y_cor - 360;}else if (x_y_cor < -360) {x_y_cor = x_y_cor + 360;}current_Dot[0] = x;current_Dot[1] = HEIGHT - y;display();}}
void reShape(int width, int height) {glViewport(0, 0, width, height);
}
int main(int argc,char **argv) {glutInit(&argc, argv);glutInitDisplayMode(GLUT_DOUBLE | GLUT_RGB);glutInitWindowSize(WIDTH, HEIGHT);glutInitWindowPosition(150, 100);glutCreateWindow("Feimos");glViewport(0, 0, WIDTH, HEIGHT);glEnable(GL_DEPTH_TEST);glutDisplayFunc(display);glutReshapeFunc(reShape);glutMouseFunc(myMouse);glutMotionFunc(myMovedMouse);glutMainLoop();
}

先把可以进行转动的框架打好，然后开始往里面写数据：

	srand(time(NULL));for (int i = 0;i < N;i++) {float r1 = myRandom();float r2 = myRandom();float x = cos(2 * M_PI*r1) * 2 * sqrt(r2*(1 - r2));float y = sin(2 * M_PI*r1) * 2 * sqrt(r2*(1 - r2));float z = 1 - 2 * r2;myRandomPoint[i].e[0] = x;myRandomPoint[i].e[1] = y;myRandomPoint[i].e[2] = z;}

并进行显示：

	for (int i = 0;i < N;i++) {glPushMatrix();glTranslatef(myRandomPoint[i].e[0], myRandomPoint[i].e[1], myRandomPoint[i].e[2]);glutWireSphere(0.02, 20, 20);glPopMatrix();//弹出现在的栈}

可以得到图：

可以看到分布挺均匀的（在程序里可以360度转动）。

二、现在让我们推导半球上的一致性。半球上的密度均匀意味着 p(direction) = 1/(2*Pi) ，仅仅改变θ方程中的常数，就会得到：

cos(theta) = 1 - r2

令人欣慰的是cos(theta) 将从1变为0，因此theta将从0变为Pi/2。与其绘制它，不如对已知解进行二维积分。让我们在半球上积分余弦立方（用已知解任意选取）。首先让我们用手来做：

INTEGRAL cos^3 = 2*Pi*INTEGRAL_0^PI/2 cos^3 sin = PI/2.

现在积分重要性抽样。p(direction) = 1/(2*Pi)，所以我们平均 f/p 为 cos^3/ (1/(2*Pi)) ，我们可以测试：

		x = cos(2 * M_PI * r1) * 2 * sqrt(r2 * (1 - r2));y = sin(2 * M_PI * r1) * 2 * sqrt(r2 * (1 - r2));z = 1 - r2;sum += (z*z*z) / (1.0 / (2.0*M_PI));

得到结果：

三、为了检验一下之前的结果，再测试一下lambertian物体的pdf：

p(direction) = cos(theta) / Pi

r2 = INTEGRAL_0^theta 2*Pi*cos(t)/Pi * sint dt = (-cos^2 t)|0-theta  = 1 - cos^2(theta)

cos(theta) = sqrt(1-r2)

所以:

x = cos(2*Pi*r1)*sqrt(r2)

y = sin(2*Pi*r1)*sqrt(r2)

z = sqrt(1-r2)

	float sum = 0.0;for (int i = 0;i < N;i++) {float r1 = myRandom();float r2 = myRandom();//float x = cos(2 * M_PI*r1) * 2 * sqrt(r2*(1 - r2));//float y = sin(2 * M_PI*r1) * 2 * sqrt(r2*(1 - r2));//float z = 1 - 2 * r2;float x = cos(2 * M_PI*r1) * sqrt(r2);float y = sin(2 * M_PI*r1) * sqrt(r2);float z = sqrt(1 - r2);//float x = cos(2 * M_PI*r1) * 2 * sqrt(r2*(1 - r2));//float y = sin(2 * M_PI*r1) * 2 * sqrt(r2*(1 - r2));//float z = 1 - r2;myRandomPoint[i].e[0] = x;myRandomPoint[i].e[1] = y;myRandomPoint[i].e[2] = z;//sum += (z*z*z) / (1.0 / (2.0*M_PI));sum += (z*z*z) / (z / (M_PI));}

得到结果：

很明显，越靠近球体上方的密度越大。

根据计算，模拟半球比p(direction)=cos(theta)/Pi的效果要好。？？感觉，不大对啊，于情于理感觉都是cos(theta)/Pi更好啊。

我又对比运行了好几次，都是模拟半球更好，突然发现自己有个地方写错了：

        double x = cos(2 * M_PI*r1) * 2 * sqrt(r2);
        double y = sin(2 * M_PI*r1) * 2 * sqrt(r2);

应该中间乘2。我重新写了个完整的代码：

	double sum1 = 0.0;double sum2 = 0.0;for (int i = 0;i < N;i++) {double r1 = myRandom();double r2 = myRandom();//float x = cos(2 * M_PI*r1) * 2 * sqrt(r2*(1 - r2));//float y = sin(2 * M_PI*r1) * 2 * sqrt(r2*(1 - r2));//float z = 1 - 2 * r2;//p(directions) = cos(theta) / Pidouble x = cos(2 * M_PI*r1) * 2 * sqrt(r2);double y = sin(2 * M_PI*r1) * 2 * sqrt(r2);double z = sqrt(1 - r2);sum1 += (z*z*z) / (z / (M_PI));// p(direction) = 1/(2*Pi)x = cos(2 * M_PI * r1) * 2 * sqrt(r2 * (1 - r2));y = sin(2 * M_PI * r1) * 2 * sqrt(r2 * (1 - r2));z = 1 - r2;sum2 += (z*z*z) / (1.0 / (2.0*M_PI));myRandomPoint[i].e[0] = x;myRandomPoint[i].e[1] = y;myRandomPoint[i].e[2] = z;}printf("PI/2 = %lf\n",M_PI/2);printf("Estimate = %lf\n", sum1/N);printf("Difference = %lf\n",(sum1/N-M_PI/2));printf("PI/2 = %lf\n", M_PI / 2);printf("Estimate = %lf\n", sum2 / N);printf("Difference = %lf\n", (sum2 / N - M_PI / 2));

得到最终结果：

可以证实 cos(theta)/Pi预测更好一些。

这篇关于《学一辈子光线追踪》 五 产生随机方向的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！


http://www.chinasem.cn/article/883617。

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