复数与二维空间旋转

本文主要是介绍复数与二维空间旋转，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

引言

⚠️ 本文充斥了大量的数学，但是不用担心，已发给高中生表弟，他表示能看懂。

看完就能理解为什么在复平面中乘$i$相当于逆时针旋转90°。

复数概念

简介

复数被称为是数字之王，可能是因为它们可以解决普通实数不能解决的问题。比如对于以下看起来无解的方程：
$$1+x^2=0$$
确实没有实数解，这会得到：
$$x=\sqrt{-1}$$
然而，这并没有阻止数学家们找到一种解决这种不便的方法，而幸运的是，这个解决方案是一个令人难以置信的想法，它被广泛应用于从电气工程到宇宙学的各个领域。简单的想法就是声明$i$的存在，使得$i^2=-1$，允许我们表达上述等式的解：
$$x=\pm i$$
$i$我们可以理解为就是一个简单的数学对象，它的平方是$-1$。

复数

定义

复数由两个部分组成：实部(real part)和虚部(imaginary part)。实部就是一个普通的数字，可以是零、正数或负数。虚部是另一个实数与$i$相乘。比如$2+3i$是一个复数，其中$2$是实部；$3i$是虚部。下面这些数字都是复数：
$$2,2+2i,1-3i,-4i,17i$$
可以看到复数是实数的扩展，包含了实数，比如$2$可以看成是虚部为$0$。

通常实数放前面，然后是$i$。但当$i$与三角函数($\sin ,\cos$)在一起通常把$i$放在前面：$i\sin \theta ,i\cos \theta$​。

公理

复数的公理和实数一样，比如，给定任意复数$z_1$,$z_2$和$z_3$满足：

• 加法交换律： $z_1+z_2=z_2+z_1$
• 加法结合律：$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$
• 乘法交换律：$z_1{z}_2=z_2{z}_1$
• 乘法结合律：$(z_1{z}_2)z_3=z_1(z_2{z}_3)$
• 乘法分配律：$z_1(z_2+z_3)=z_1{z}_1+z_1{z}_3(z_1+z_2)z_3=z_1{z}_3+z_2{z}_3$

复数的模

复数$a+bi$的模定义为$\sqrt{a^2+b^2}$。比如$3+4i$的模是$5$，复数$z$的模写成$|z|$：
$$\begin{gathered} z=a+bi \\ |z|=\sqrt{a^2+b^2}\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

加减法

给定两个复数：
$$\begin{gathered} z_1=a+bi \\ {z}_2=c+di \\ {z}_1\pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)i\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
即实部和虚部分别相加减。

标量乘法

复数$a+bi$与标量$\lambda$相乘：
$$\lambda (a+bi)=\lambda a+\lambda bi\text{\hspace{1em}(3)}$$
比如：
$$2(3+5i)=6+10i$$

两个复数的乘法

两个复数的乘积就是各项分别相乘并相加：
$$\begin{array}{rl}{z}_1& =a+bi\\ z_2& =c+di\\ z_1{z}_2& =(a+bi)(c+di)\\ & =ac+adi+bci+bd{i}^2\\ & =(ac-db)+(ad+bc)i\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
得到另一个复数。注意我们看到$i^2$就用$-1$代替。

共轭复数

两个复数相乘存在一种特殊情况，它们之间唯一的区别是虚部的符号：
$$(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2{i}^2=a^2+b^2\text{\hspace{1em}(5)}$$
这个结果很有趣，$a-bi$称为$a+bi$的共轭复数(complex conjugate)。通常，
$$z=a+bi$$
的共轭复数写成$\bar{z}$或$z^{\ast }$：
$$\bar{z}=a-bi\text{\hspace{1em}(6)}$$
并且可以得到：
$$z\bar{z}=a^2+b^2=|z{|}^2\text{\hspace{1em}(7)}$$

两个复数的除法

共轭复数为我们提供了一种计算复数除法的机制，比如，考虑
$$\frac{a+bi}{c+di}$$
可以通过分子分母同乘分母的共轭复数$c-di$使其变成实数分母：
$$\begin{array}{rl}\frac{a+bi}{c+di}& =\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\\ & =\frac{ac-adi+bci-bd{i}^2}{c^2+d^2}\\ & =\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
另一种特殊情况是$a=1,b=0$：
$$\frac{1}{c+di}=(c+di{)}^{-1}=\left(\frac{c}{c^2+d^2}\right)-\left(\frac{d}{c^2+d^2}\right)i\text{\hspace{1em}(9)}$$
这是一个复数的倒数。

复数的倒数

尽管我们已经发现了复数的倒数，但让我们采用另一种策略，声明
$$z_1=\frac{1}{z}$$
其中$z$是复数。

现在我们两边同除$z$的共轭复数得到：
$$\frac{z_1}{\bar{z}}=\frac{1}{z\bar{z}}$$
前面我们知道$z\bar{z}=|z{|}^2$，因此：
$$\frac{z_1}{\bar{z}}=\frac{1}{|z{|}^2}$$
变形后：
$$z_1=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$$
通常
$$\frac{1}{z}=z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}\text{\hspace{1em}(10)}$$
即我们可以通过上面的公式很快地计算出复数的倒数。

下面就到了有趣的部分了。

复平面

数学家欧拉在将复数引入数学领域中起到了重要作用。他关于旋转的理论也被应用于计算机图形学中。

考虑图2.1(来自参考1)描述的场景，在数轴上，任意一个数与其相反数之间可以通过180°的旋转相互关联。例如，当$2$绕着原点旋转180°时，它变成了$-2$，当$-3$绕着原点旋转180°时，它变成了$3$​。

但我们知道$i^2=-1$，我们可以写出：
$$-n=i^{2}n$$
如果我们把乘$i^2$看成是绕原点旋转 180°，那乘$i$就是90°。没理解没关系，下面会证明。

图2.2(来自参考1)展示了如何使用复平面将复数解释为二维坐标，其中实部位于横轴，虚部位于纵轴。图中还展示了四个复数，它们表示4个长度(模)相等的向量：
$$p=1+2i,q=-2+i,r=-1-2i,s=2-i$$
它们依次为逆时针旋转90°(乘$i$得到)的关系，比如：

• 对$p$旋转90°： $i(1+2i)=i+2i^2=-2+i=q$
• 对$q$旋转90°：$i(-2+i)=-2i+i^2=-1-2i=r$
• 对$r$旋转90°：$i(-1-2i)=-i-2i^2=2-i=s$
• 对$s$旋转90°：$i(2-i)=2i-i^2=1+2i=q$

我们发现，对一个复数旋转90°，只需要乘$i$即可。

极坐标表示

极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点——极点的距离来表示。如上图(来自百度百科)所示。

复平面提供了一种简单的机制来以图形方式表示复数。这反过来使得我们可以使用极坐标表示，如图2.3所示，其中我们可以看到复数$z=a+bi$代表了有向线段$r$。线段$r$的长度显然是$\sqrt{a^2+b^2}$​，这就是为什么复数的模具有相同的定义。

我们可以从图2.3(来自参考1)中看到，复数$z$的水平分量$a=r\cos \theta$，垂直分量$b=r\sin \theta$，这使我们能够写成：
$$\begin{array}{rl}z& =a+bi\\ & =r\cos \theta +ri\sin \theta \\ & =r(\cos \theta +i\sin \theta )\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$
注意$i$位于$\sin$函数前面。

线段$r$和实数轴之间的夹角$\theta$称为幅角(argument)，写成$\arg (z)$，这里
$$\arg (z)=\theta \text{\hspace{1em}(12)}$$
根据欧拉公式(欧拉再次出现了！欧拉公式本文就不证明了，网上常见的通过泰勒展开/求导等方法证明其实并不严谨，因为复数领域中的泰勒展开、求导均需要用到欧拉公式)：
$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \text{\hspace{1em}(13)}$$
其中$e$是自然对数的底数；$\theta$可以是任意实数。当$\theta =\pi$时，得到欧拉恒等式$e^{i\pi }+1=0$。

公式(11)可以写成：
$$z=r{e}^{i\theta }\text{\hspace{1em}(14)}$$
现在我们可以使用极坐标表示重新审视两个复数的乘法和除法：
$$\begin{array}{rl}z& =r(\cos \theta +i\sin \theta )\\ w& =s(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\ zw& =rs(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\ & =rs(\cos \theta \cos \varphi +i\cos \theta \sin \varphi +i\sin \theta \cos \varphi +i^2\sin \theta \sin \varphi )\\ & =rs\left((\cos \theta \cos \varphi -\sin \theta \sin \varphi )+i(\sin \theta \cos \varphi +\cos \theta \sin \varphi )\right)\end{array}$$
且又
$$\begin{gathered} \cos (\theta +\varphi )=\cos \theta \cos \varphi -\sin \theta \sin \varphi \\ \sin (\theta +\varphi )=\sin \theta \cos \varphi +\cos \theta \sin \varphi \end{gathered}$$
得到
$$zw=rs(\cos (\theta +\varphi )+i\sin (\theta +\varphi ))=rs{e}^{i(\theta +\varphi )}\text{\hspace{1em}(15)}$$
所以两个复数的乘法得到另一个复数，且模为
$$|zw|=rs$$
幅角
$$\arg (zw)=\arg (z)+\arg (w)=\theta +\varphi \text{\hspace{1em}(16)}$$

这一点很有意思，我们通过一个例子来理解，图2.4(来自参考1)画出了两个复数和它们的乘积：
$$z=1+i,w=2i$$

可以看到：
$$\begin{gathered} |z|=\sqrt{2},\arg (z)=45° \\ |w|=2,\arg (w)=90° \\ |zw|=2\sqrt{2},\arg (zw)=135° \end{gathered}$$
于是，复数相乘，可以带来缩放(改变模长)和旋转(改变幅角)！

再次提醒，实数也属于复数。所以对于实数与复数的乘法也成立！

旋转子

从公式(15)我们知道，将一个模为$1$的复数与另一个复数相乘不会引起缩放。

例如，将$3+4i$乘$1+0i$会得到同样的复数，没有缩放和旋转。而，将$3+4i$乘$0+i$​会使其旋转90°，但不会引起缩放。

所以为了将复数$2+2i$旋转45°，我们让其与复数(这里$\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$)：
$$\cos 45^{\circ }+i\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$$
相乘，从而产生旋转45°的效果，因为$(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2=1$。

那么有
$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)(2+2i)=\sqrt{2}+\sqrt{2}i+\sqrt{2}i+\sqrt{2}{i}^2=2\sqrt{2}i$$
这样的模为$1$的复数就称为旋转子(rotor)，有了旋转子就可以将复数旋转任意角度。

一般而言，将复数旋转角度$\theta$的旋转子定义为：
$$R_{\theta }=\cos \theta +i\sin \theta ({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1)\text{\hspace{1em}(17)}$$

现在让我们来考虑将$3+3i$绕着$2+2i$旋转45°的问题，如图2.5(来自参考1)所示。从图中可以看出，结果是$z\approx 2+3.414i$。

但我们可以通过另一种方法计算：通过从$3+3i$中减去$2+2i$将操作变成基于原点，然后将结果乘$\sqrt{2}/2+\sqrt{2}/2i$，最后再加上$2+2i$：
$$\begin{array}{rl}z& =\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)((3+3i)-(2+2i))+2+2i\\ & =\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)(1+i)+2+2i\\ & =\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i+\frac{\sqrt{2}}{2}i-\frac{\sqrt{2}}{2}+2+2i\\ & =2+(2+\sqrt{2})i\\ & \approx 2+3.414i\end{array}$$
也是对的。

因此，要将任意点$(x,y)$旋转$\theta$角，我们将其转换为复数$x+yi$，并乘上旋转子$\cos \theta +i\sin \theta$：
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }+y^{\prime }i& =(\cos \theta +i\sin \theta )(x+yi)\\ & =(x\cos \theta -y\sin \theta )+(x\sin \theta +y\cos \theta )i\end{array}\text{\hspace{1em}(18)}$$
其中$(x^{\prime },y^{\prime })$是旋转后的点：$(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$。

这里用到了将二维向量当成复数，利用复数的性质进行运算，然后再变回二维向量的思想。

这对应二维平面中点$(x,y)$关于原点的逆时针旋转：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(19)}$$
左乘该矩阵，对右边的二维向量$[xy{]}^T$进行了旋转变换，旋转成$[x^{\prime }{y}^{\prime }{]}^T$，这个旋转变换与左乘旋转子是等价的。

在继续之前，我们来考虑旋转子的共轭对旋转方向的影响，我们可以通过将$x+yi$乘旋转子$\cos \theta -i\sin \theta$来实现：
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }+y^{\prime }i& =(\cos \theta -i\sin \theta )(x+yi)\\ & =(x\cos \theta +y\sin \theta )-(x\sin \theta +y\cos \theta )i\end{array}\text{\hspace{1em}(20)}$$
它的矩阵形式为
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(21)}$$
相当于旋转了$-\theta$角度。

因此，我们可以定义旋转子$R_{\theta }$和其共轭形式$R_{\theta }^{†}$为
$$\begin{gathered} R_{\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \\ {R}_{\theta }^{†}=\cos \theta -i\sin \theta \text{\hspace{1em}(22)} \end{gathered}$$
这里$R_{\theta }$旋转了$+\theta$，而$R_{\theta }^{†}$旋转了$-\theta$。

同理下面这个矩阵作用在一个向量$(x,y)$上，就会得到逆时针旋转$\theta$后的向量$(x^{\prime },y^{\prime })$：
$$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$
该矩阵也被称为旋转矩阵。

参考

1. Rotation Transforms for Computer Graphics by John Vince

这篇关于复数与二维空间旋转的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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