【模糊逻辑】Type-1 Fuzzy Systems的设计方法和应用-1

本文主要是介绍【模糊逻辑】Type-1 Fuzzy Systems的设计方法和应用-1，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

【模糊逻辑】Type-1 Fuzzy Systems的设计方法和应用

4.1 时间序列预测
4.2 提取规则的方法
- 4.2.1 One-pass method（一次性方法）
- - 4.2.1.1数据赋值法
  - - 例子1
  - 4.2.1.1 WM方法
- 4.2.2 最小二乘法
- 4.2.3 基于导数的方法
- 4.2.4 SVD-QR方法
- 4.2.6 迭代法

4.1 时间序列预测

设置现在有一个时间序列 $s (k)$ ，对于观测者可以获得对应的观测值 $x (k)$
$x (k) = s (k) + n (k) + I n (k) + J (k)$
其中 $n (k)$ 为测量误差/噪声， $I n (k)$ 为自然干扰， $J (k)$ 为人为干扰。

现在我们已经构造好了一个观察的时间序列了。现在我们的目标是去时间序列预测，而我们可以利用是数据是历史滑动窗内的数据，这个滑动窗的大小为p。利用前p个观测值，来预测当前 $s (k)$ 。

现在我们拥有N个时间序列的数据 $x (1), x (2), ..., x (N)$
设置前D个点 $x (1), x (2), ..., x (D)$ 用于训练，即训练集，其中D往往为N的75%~80%；
由此我们的测试集为 $x (D + 1), x (D + 2), ..., x (N)$

构造D-p个训练组
$X^{(1)}=[x(1),...,x(p),x(p+1)]^T, ..., X^{(D-p)}=[x(D-p),...,x(D-1),x(D)]^T,$
其中每组的前p个数据作为训练FLS的输入，第p+1的数据作为FLS期望的输出。

同理有N-p-D个检测组
$X^{(D+1)}=[x(D+1),...,x(D+p),x(D+p+1)]^T, ..., X^{(N-p)}=[x(N-p),...,x(N-1),x(N)]^T,$

值得注意的是，这里的每个训练组都可以为FLS预测器训练对应的规则，而测试集则用于测试各被提取的规则的精度性能。

4.2 提取规则的方法

4.2.1 One-pass method（一次性方法）

4.2.1.1数据赋值法

该方法是利用数据来构造出在规则的前因（antecedent）和后因（consequent）中的模糊集的中心
在这里插入图片描述

例子1

如果现在 $F_i^l$ 是一个为Gaussian MF的模糊集
$\mu_{F_i^l}(x_i)=\exp \{-\frac{(x_i-m_{F_i^l})^2}{2\sigma_{F_i^l}^2}\},i=1,2,...,p$
对于一个规则来说，前因参数数目为2p，后因参数数目为1，
现在我们有D-p个测试组，即有D-p个规则，那么总共涉及到了 $(2 p + 1) (D - p)$ 个参数。

针对以上的例子，问题的关键是，我们应该如何去选择大量的MF和初始化大量的参数

4.2.1.1 WM方法

在这里插入图片描述该方法主要是通过预指定好前因和后因的数据，然后将将这些数据关联起来
以上图为例，

首先，设计好关于 $x^{(l)}$ 的自由度 $\mu_x(x)$ ；
然后将时间序列映射到其中最大的自由度对应的值；
由此得到一个具有输入输出关系的规则了

以上图为例， $x_1\rightarrow B_1,x_2\rightarrow S_2,x_3\rightarrow B_3,x_4\rightarrow CE,...$

但是以上的WM方法也存在一个问题就是，对于大量的数据，可能产生相互矛盾的规则。
对于这样的现象，我们往往选择从中选择一个最大值的情况。

以上介绍了数据赋值方法和WM方法都属于One-pass方法，特点都是比较简单，可实现；但需要大量的参数和规则提前设定

接下来，我们的目标是构造一个FLS框架，利用数据来最优化参数并减少规则。

4.2.2 最小二乘法

在这里插入图片描述

4.2.3 基于导数的方法

两种最流行和广泛使用的基于导数的优化算法是 steepest 下降和 Marquardt-Levenberg。使用它们时，不会提前固定任何前因或后因参数。这两种算法都需要关于每个 MF 参数的数学目标函数的一阶导数。在本节中，重点介绍单例 Mamdani 模糊系统和乘积 t 范数的最陡峭下降算法
在这里插入图片描述
最速下降优化算法仅对每个 $e^{(t)}$ 更新一次参数 $\theta$