透彻理解“对数”概念及其在量化交易中的意义

2024-03-30 11:08

本文主要是介绍透彻理解“对数”概念及其在量化交易中的意义,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

透视一个数学概念,目前看需要从三个层面:数学史、数学概念、数学意义。

学校教育,不教数学史,不教其实际意义,只教概念,完全是混蛋无赖做法。

  • 对数的发展史

对数之前是等差、等比数列。

  1. 15世纪,法国数学家N.Chuquet(1445-1488)在其《算学三部》中给出双数列的对应关系。
1 2 4 8 16 32 64 128 ... # 数列一:等比数列
0 1 2 3 4  5  6   7 ...  # 数列二:等差数列

等比数列中的乘除关系,对应等差数列中的加减关系

例如 2 * 8 = 16 对应 1 + 3 = 4

  1. 16世纪,德国数学家M.stifel(1487-1567)明确提出等比数列的乘、除、乘方、开方四种运算法则,但当时没有指数概念,并未产生实际物理推动意义
  2. 1614年,苏格兰数学家J.Napier(1550-1617)出版《奇妙的对数定理说明书》,对数概念正式诞生
  3. 随后,伦敦数学家H.Briggs(1561-1630)建议改进Napier的对数,使1的对数为0,10的对数为1。出版更简便的常用对数表
  4. 17世纪,R.Descartes(1596-1650)发明的记号,指数概念顺势诞生。
  5. 17世纪末,对数可以定义为幂指数,被发现。
  6. 随后,L.Euler(1707-1783)深刻揭示了指数与对数之间的密切联系,并创用了 L o g a N Log_aN LogaN这一记号。
  • 对数的概念

古巴比伦复利问题,年息20%,几年后本金能变成2。

1. 2 x = 2 1.2^x = 2 1.2x=2 x = ? x=? x=?

J.Napier之前,世人没有办法表示x的结果,J.Napier将其称为’logarithm’(这个词源自希腊文logos(比)和arithmos(数)组合而成.后来,数学家又把它简化成符号“log”).

因此,x便有了新的表示方法:

x = l o g 1.2 2 x = log_{1.2}2 x=log1.22

推广到一般情况,就有了对数的定义:

a b = N a^b=N ab=N(a > 0, a != 1),则数 b b b叫做以 a a a为底 N N N 的对数,记作
b = log ⁡ a N b = \log_aN b=logaN
其中 a a a为底数, N N N为真数,读做以 a a a为底 N N N的对数

  • 对数的意义

对数的发明是计算的革命,法国数学家与天文学家P.S.Laplace(1749-1827):“对数倍增了天文学家的寿命,因为省时省力”。

数学家们感慨:“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者的了.这不仅浪费时间,而且容易出错”。

没有计算器的时代,天文学家要计算一个空间距离,需要耗费巨大的时间,因为都是大数(光速:299792.468Km/s,一年秒数31,536,000 s)。

对数的出现,让大数的乘、除工作转变为小数据的加、减工作,极大降低计算能耗。

  • 对数坐标系

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对数坐标系是将数轴进行强力缩放,一亿左右经对数缩放后也不过是8,这样在常规坐标系下巨大数据就可以在对数坐标系中简单表示,最典型的的应用就是天文学中绘图,如果按常规比例,怎么画太阳到地图、水星、金星等行星到一张图中?有了对数坐标系就很简单。

将大数实现小额化、归一化。这就是对数坐标系的价值。也是对数,最重要的意义。

  • 参考

  1. 钟萍,汪晓勤. 对数概念:从历史到课堂[J]. 中学数学月刊,2015(5):50-53.
  2. 知乎-如何理解对数

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2019-03-18 16:34:32写于上海

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