Kruskal最小生成树【详细解释+动图图解】【sort中的cmp函数】【例题：洛谷P3366 【模板】最小生成树】

本文主要是介绍Kruskal最小生成树【详细解释+动图图解】【sort中的cmp函数】【例题：洛谷P3366 【模板】最小生成树】，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

文章目录

Kruskal算法简介
- Kruskal算法前置知识
- - sort 中的cmp函数
算法思考
- 样例详细示范与解释
- kruskal模版code↓
例题：洛谷P3366 【模板】最小生成树code↓
完结撒花QWQ

Kruskal算法简介

$Kr u s ka l$ 是基于贪心算法的 $MST$ 算法，核心思想为以边为中心查找最小生成树，时间复杂度为 $O(mlog_{2}m)$ ，其中的 $m$ 为边数

具体算法可分为两个步骤：

1.以边权为优先级来进行排序

2.使用并查集查找连通性，如果不连通，则加边，加答案

Kruskal算法前置知识

1.对于 $v ec t or$ 的容器排序算法（使用 $sor t$ 即可）

sort(T.begin(),T.end(),cmp);//这是vector的排序方法

解释： $T . b e g in ()$ 是 $v ec t or$ 的起始部分， $T . e n d ()$ 是 $v ec t or$ 的结束部分， $T$ 是 $v ec t or$ 的容器名

sort 中的cmp函数

$c m p$ 为 $sor t$ 重构函数，需要自己定义，这个函数的类型为 $b oo l$ ，内部变量的类型便是需要排序的容器的类型

cmp模版code如下↓

T name;
bool cmp(T x,T y){return x op y}
sort(name(first),name(last),cmp)

$T$ 为容器类型， $nam e$ 为容器名字， $nam e (f i rs t)$ 代表容器的第一位， $nam e (l a s t)$ 表示容器的最后一位

2.使用结构体的构造来赋值

Edge(int a,int b,int c):u(a),v(b),w(c){};

上述构造函数的代码的意思等同于↓：

Edge(int a,int b,int c){u=a,v=b,w=c;}

在结构体里加边的操作也就为：T.push_back(Edge(u,v,w));

3.容器 $v ec t or$ 的定义

我们需要用容器来管理结构体

也就是将结构体给定义在容器里

vector<Node> T;//其中T为容器名,Node为结构体名

定义code总结↓：

struct Node{int u,v,w;//定义类型Edge(int a,int b,int c):u(a),v(b),w(c){};//使用构造
};
bool (Node x,Node y){return x.w<y.w}//具体使用vector里的哪一个定义排序的函数
vector<Node> T;//使用容器来管理结构体
sort(T.begin(),T.end(),cmp)//其中T为容器名

算法思考

我们先给出一个题目来进行思考↓：

$x$ 市共有 $n$ 个岛屿， $m$ 种修桥的方案由于 $x$ 市的市长是一个黑心市长，所以他想要选择一种方案使得总共修桥的钱最少
每年他可以修一座桥，问：需要几年才能使得所有的岛屿之间都可以互相同行，最少修桥的钱为多少？

我们可以知道：修桥的钱数就是边权，岛屿的名字就是点的编号

第一个问题很好解答，使得所有点之间都可以连通的最少边数为 $N - 1$ 条边

第二个问题我们就需要进行 $Kr u s ka l$ 进行求最小生成树了

输入格式为
第 $1$ 行，两个整数 $n$ , $m$
第 $2$ ~ $n + 1$ 行，每行三个整数 $u$ , $v$ , $w$ ，表示所连接的两点及其边权

我们先给出一组样例↓

样例解释如图示↓
在这里插入图片描述

样例详细示范与解释

因为我们是需要" 花最少的钱，办最多的事 "，所以我们需要先以边的权值为优先级进行排序，结果为↓

那么我们就可以开始进行判断了，每一次重复的过程为：查找两个点是否连通，如果不连通，则加边

int x=find(wei[i].u),y=find(wei[i].v);//查找两个点的祖先if(x!=y){//如果祖先相同，则他们连通，在同一个集合内f[x]=y;//将两条边连在一起ans+=wei[i].w;//将它的权值加在最终答案里cnt++;//已经连接的边数+1}

解释：因为我们最开始已经排过序了，所以如果不连通，那么这条边一定是连接这两个点的最小代价

最后，如果两个点不连通，直接加边和答案，如果边数已经满足最少边数为 $N - 1$ 条，则返回答案

return cnt==n-1?ans:-1;//如果边数是n-1条则返回答案，否则没有答案，无法连接所有边

如何使用并查集查找两个点的连通性，可见我的另一篇博文：并查集【模版】& 路径压缩优化

动图视频如下：

kruskal模版code↓

int kruskal(int n,int m,vector<Edge> &wei){sort(wei.begin(),wei.end(),cmp);int ans=0,cnt=0;for(int i=0;i<m;i++){int x=find(wei[i].u),y=find(wei[i].v);if(x!=y){f[x]=y;ans+=wei[i].w;cnt++;}}return cnt==n-1?ans:-1;
}

例题：洛谷P3366 【模板】最小生成树code↓

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+7;
struct Edge{int u,v,w;Edge(int a,int b,int c):u(a),v(b),w(c){};
};
int f[maxn]={},n,m;
bool cmp(Edge x,Edge y){return x.w<y.w;
}
int find(int x){return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);} 
vector<Edge> wei;
int kruskal(int n,int m,vector<Edge> &wei){sort(wei.begin(),wei.end(),cmp);int ans=0,cnt=0;for(int i=0;i<m;i++){int x=find(wei[i].u),y=find(wei[i].v);if(x!=y){f[x]=y;ans+=wei[i].w;cnt++;}}return cnt==n-1?ans:-1;
}
int init(){for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;return 0;
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;wei.push_back(Edge(u,v,w));//因为是无向图，所以需要反过来再加一次边wei.push_back(Edge(v,u,w));}int ans=kruskal(n,2*m,wei);//因为是无向图，所以边数是原边数的两倍if(ans==-1) cout<<"orz";else cout<<ans;return 0;
}