数字正交下变频

@TOC复数如何实现下变频
这里介绍复数信号如何实现数字正交下变频。

理论

首先考虑一个复数信号
$$s(t)=e^{j\theta }=cos(\theta )+isin(\theta ).$$
下面是数字正交下变频的系统框图。

输出也是两路信号，一个I，一个Q，分别为：

即如果输入信号为：
$$s(t)=e^{j\theta 1}=cos(\theta 1)+isin(\theta 1).$$
本振信号频率为$\theta 2$.
那么输出信号为：
$$I=cos(\theta 1)cos(\theta 2)+sin(\theta 1)sin(\theta 2).$$
$$Q=-cos(\theta 1)sin(\theta 2)+sin(\theta 1)cos(\theta 2).$$
根据和差化积公式，最后的输出复信号为：
$$y(t)=cos(\theta 1+\theta 2)+isin(\theta 1-\theta 2).$$
因此，混频之后将会出现两个频率的信号，一个是两个频率相加，另一个是两个频率相减。

仿真

下面对其进行仿真。
考虑一个复数信号频率为20Hz，混频信号频率为10Hz。
那么根据以上输出公式，
将会输出两个频率的信号，一个是30Hz，一个是10Hz，

由于输出信号为正弦与余弦的实信号，因此将会各自出现两个折叠频率（负频率折叠而来）。
因此，这里就可以对信号进行低通滤波处理，得到两个频率相减的下变频信号，即10Hz的频率信号。