前人栽树后人乘凉--学会套用模板即可(完全背包与多重背包)

为什么说前人栽树后人乘凉？

实际上这些准备好的模板，要是去理解的话确实挺难的，需要会动态规划的状态压缩等等，作为初学者如果实在看不懂推导，完全没必要一直纠结在这上面。。。

但实际上学会用好模板，那就需要掌握一项技能–分辨对应的问题，比如迅速确定是完全背包问题，而不是01背包问题，再迅速确定是多重背包问题等等，根据这些问题再确定用相应的模板。

在使用模板的过程中，你唯一需要确定的就是，dp关系的动态转移方程。
所以不要再纠结了，这就和你套用数学物理公式差不多，还是需要学会运用，除非有哪个地方需要用到推理的思维。

完全背包问题模板

完全背包问题的识别方法：
当出现需要物体的属性来拼凑成想要的数，并且这些物体的数量是无限制的，那么基本是就是完全背包问题了。

完全背包问题的模板：

for 物体属性 in 物体种类:for i=物体属性, i<=目标金额，i++:dp[i] = dp[...]

看完这个模板，基本上需要自己想自己填入的信息，就只有动态转移方程了。

下面以一个例题作示范：
题目：
我这边直接给出代码，大家细细品味：

class Solution{
public:
//这是一个完全背包问题的变式，可用的硬币数由于是无限，关于dp关系的建立，
//完全背包问题dp[i]表示凑出该面值最少用到的硬币数
//dp关系：dp[i] = min(dp[i-coin[j]]+1,dp[i])
//关于base case:基本情况应视情况而定，比如该题就是dp[0] = 0int coinChange(vector<int>&coins,int amount){vector<int>dp(amount+1,INT_MAX/2);dp[0] = 0;//金额0的最优解为0//变量i从1循环到amount，依次计算金额从1到amount的最优解。for(int coin:coins)for(int i=coin;i<=amount;i++){dp[i] = min(dp[i],dp[i-coin]+1);}return dp[amount]==INT_MAX/2?-1:dp[amount];}};

大家熟悉模板后可以继续来练练此题：又一个完全背包的变式->零钱兑换II

多重背包问题模板

关于多重背包问题，实际上，就是在完全背包的基础上，我们添加了，物体的使用限制，比如上述零钱兑换的过程，我们加入了每个面值的零钱能够使用多少次，它就变成了多重背包问题。

关于模板，多重背包问题的模板需要在完全背包问题两层循环的基础上，在其中间加入一层循环用于表示次数，并且最后一层循环需要反过来遍历。

for 物体属性 in 物体种类:for ...  in range(0,times):for i=目标金额, i>=物体属性，i--:dp[i] = dp[...]

我这边用的python代码作的伪代码，range(0,times)表示循环times次。

对应例题：(正是零钱兑换的多重背包翻版)

dp代码

//只写了dp递推这部分代码，方便大家理解模板的运用
vector<int >dp(m+1,INT_MAX/2);
//base case:
dp[0] = 0;
for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<c[i];j++){for(int t = m;t>=coins[i];t--){dp[t] = min(dp[t],dp[t-coins[i]]+1);}}
}
int ans = dp[m]==INT_MAX/2?0:dp[m];
if(ans==0)
cout<<"><";
else{cout<<ans;
}

最后提醒大家一句

模板虽是模板，但是若能够理解其中的推理过程(本人暂时无法理解)，那么以后再碰到动态规划的题目，状态压缩的降维打击将可以蔑视一切。
当然有时间，去多多了解各种数据结构的运用以及对递归的运用，这对后续的算法学习尤为重要！！