【图论】 【割点】 【双连通分类】LCP 54. 夺回据点

本文涉及知识点

图论 割点 双连通分类
割点原理及封装好的割点类

LeetCode LCP 54. 夺回据点

魔物了占领若干据点，这些据点被若干条道路相连接，roads[i] = [x, y] 表示编号 x、y 的两个据点通过一条道路连接。
现在勇者要将按照以下原则将这些据点逐一夺回：
在开始的时候，勇者可以花费资源先夺回一些据点，初始夺回第 j 个据点所需消耗的资源数量为 cost[j]
接下来，勇者在不消耗资源情况下，每次可以夺回一个和「已夺回据点」相连接的魔物据点，并对其进行夺回
注：为了防止魔物暴动，勇者在每一次夺回据点后（包括花费资源夺回据点后），需要保证剩余的所有魔物据点之间是相连通的（不经过「已夺回据点」）。
请返回勇者夺回所有据点需要消耗的最少资源数量。
注意：
输入保证初始所有据点都是连通的，且不存在重边和自环
示例 1：
输入： cost = [1,2,3,4,5,6] roads = [[0,1],[0,2],[1,3],[2,3],[1,2],[2,4],[2,5]]
输出：6
解释： 勇者消耗资源 6 夺回据点 0 和 4，魔物据点 1、2、3、5 相连通； 第一次夺回据点 1，魔物据点 2、3、5 相连通； 第二次夺回据点 3，魔物据点 2、5 相连通； 第三次夺回据点 2，剩余魔物据点 5； 第四次夺回据点 5，无剩余魔物据点； 因此最少需要消耗资源为 6，可占领所有据点。i

示例 2：

输入： cost = [3,2,1,4] roads = [[0,2],[2,3],[3,1]]

输出：2

解释： 勇者消耗资源 2 夺回据点 1，魔物据点 0、2、3 相连通； 第一次夺回据点 3，魔物据点 2、0 相连通； 第二次夺回据点 2，剩余魔物据点 0； 第三次夺回据点 0，无剩余魔物据点； 因此最少需要消耗资源为 2，可占领所有据点。image.png

提示：
1 <= roads.length, cost.length <= 10⁵
0 <= roads[i][0], roads[i][1] < cost.length
1 <= cost[i] <= 10⁹

预备知识

点双连通：删掉任意一个点之后及关联的边后，图仍联通。
点双连通分量的缩点

性质一： 无向图中，要么是树边，父亲指向孩子；要么是回边，后代指向祖宗。见：割点原理及封装好的割点类。
性质二：一个环一定是点双连通。
性质三：一个环+一个树，一定不是点双连通区域。令树的一边a,b不在环上,b不在环上。则删除a,b就成了新的连通区域。
性质四：两个环有一个点重合，一定不是点双连通。删除重合点就分开了。
性质五：两个环有两个或更多的顶点相同，则一定是双连通区域。令相同的顶点是a和b。删除a后，两个环余下的点，通过b连通。删除b，类似。
性质六：设G1,G2最大点双连通图，如果G1和G2包括相同的边ab，则G1 == G2。删除a后，G1和G2所有的点都可以通过b连通，故G1和G2可以合并。
性质七：无向图的任何树边都只属于一个强连通分量。

简化情况

假定是树，且节点数大于等于3。一定会存在度数>=2的节点，以任意度数为2的根，形成树。
令叶子数是k，选择k-2个叶子结束，无法完全占据。2个叶子节点最近公共祖先无法消除。
选择k-1个叶子，一定可以占据。设没选择的节点是a，k-1个消除到和a的公共祖先，余下的树都是a的祖先，从根开始消除。
不能选择根节点，除一个子树外，可以选择排除一个叶子节 点外的叶子节点；其它子树要全部选择。显然劣于k-1叶子节点。
不能选择枝节点，选了只有两个选择：
a，本子树全选，本子树外的叶子排除一个外全选。
b,本子树外的节点全选。本子树的叶子排除一个外全选。
显然劣于选择k-1个叶子节点。

红色字体是割点，红色线段是回边。
共四个点双连通区域，红色背景（节点0)、绿色背景(3）、紫色背景(6) 只和一个割点连接，消除不会形成新的连通区域。蓝色节点(4)和两个割点连通，首先删除会，让2和5断开。

点双连通区域占据任意点，任意剩余据点也是连通。

关于点双连通区域

性质一：除根节点外的任何节点x都会放到符合以下条件的next所在连通区域。
next就是x或next是x的祖宗。如果多个next，取级别最高的。
断开cur后，next和cur的祖宗不连通。每个节点只会入栈出栈一次。
性质二：next的父节点也会放到next所在的双连通区域。
性质三：除根节点外的任何节点x 都有符合性质一的next，根节点的子节点一定符合。

代码

两种特殊情况： 一个连通区域只有一个点。本类会解析错误，解析成没有点双连同区域。
没有割点，会解析成一个点双连通区域，解析正确。本题要特殊处理。

class CNeiBo
{
public:	static vector<vector<int>> Two(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0) {vector<vector<int>>  vNeiBo(n);for (const auto& v : edges){vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);if (!bDirect){vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);}}return vNeiBo;}	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);for (const auto& v : edges){vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);if (!bDirect){vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);}}return vNeiBo;}static vector<vector<int>> Grid(int rCount, int cCount, std::function<bool(int, int)> funVilidCur, std::function<bool(int, int)> funVilidNext){vector<vector<int>> vNeiBo(rCount * cCount);auto Move = [&](int preR, int preC, int r, int c){if ((r < 0) || (r >= rCount)){return;}if ((c < 0) || (c >= cCount)){return;}if (funVilidCur(preR, preC) && funVilidNext(r, c)){vNeiBo[cCount * preR + preC].emplace_back(r * cCount + c);}};for (int r = 0; r < rCount; r++){for (int c = 0; c < cCount; c++){Move(r, c, r + 1, c);Move(r, c, r - 1, c);Move(r, c, r, c + 1);Move(r, c, r, c - 1);}}return vNeiBo;}
};//割点
class CCutPoint
{
public:CCutPoint(const vector<vector<int>>& vNeiB) : m_iSize(vNeiB.size()){m_vNodeToTime.assign(m_iSize, -1);m_vCutNewRegion.resize(m_iSize);		}void Init(const vector<vector<int>>& vNeiB){for (int i = 0; i < m_iSize; i++){if (-1 == m_vNodeToTime[i]){m_vRegionFirstTime.emplace_back(m_iTime);dfs(vNeiB, i, -1);}}}	const int m_iSize;const vector<int>& Time()const { return m_vNodeToTime; }//各节点的时间戳const vector<int>& RegionFirstTime()const { return m_vRegionFirstTime; }//各连通区域的最小时间戳vector<bool> Cut()const { vector<bool> ret;for (int i = 0; i < m_iSize; i++){ret.emplace_back(m_vCutNewRegion[i].size());}return ret; }//const vector < vector<pair<int, int>>>& NewRegion()const { return m_vCutNewRegion; };
protected:int dfs(const vector<vector<int>>& vNeiB, const int cur, const int parent){int iMinTime = m_vNodeToTime[cur] = m_iTime++;OnBeginDFS(cur);int iRegionCount = (-1 != parent);//根连通区域数量for (const auto& next : vNeiB[cur]) {if (-1 != m_vNodeToTime[next]) {iMinTime = min(iMinTime, m_vNodeToTime[next]);continue;}const int childMinTime = dfs(vNeiB, next, cur);iMinTime = min(iMinTime, childMinTime);if (childMinTime >= m_vNodeToTime[cur]) {iRegionCount++;m_vCutNewRegion[cur].emplace_back(m_vNodeToTime[next], m_iTime);OnNewRegion(cur, next);}}if (iRegionCount < 2){m_vCutNewRegion[cur].clear();}return iMinTime;}virtual void OnNewRegion(int cur, int next) {};virtual void OnBeginDFS(int cur) {};vector<int> m_vNodeToTime;vector<int> m_vRegionFirstTime;vector < vector<pair<int, int>>> m_vCutNewRegion; //m_vCutNewRegion[c]如果存在[left,r) 表示割掉c后，时间戳[left,r)的节点会形成新区域int m_iTime = 0;
};class CConnectAfterCutPoint 
{
public:CConnectAfterCutPoint(const vector<vector<int>>& vNeiB) :m_ct(vNeiB){m_vTimeToNode.resize(m_ct.m_iSize);m_vNodeToRegion.resize(m_ct.m_iSize);for (int iNode = 0; iNode < m_ct.m_iSize; iNode++){m_vTimeToNode[m_ct.Time()[iNode]] = iNode;}for (int iTime = 0,iRegion= 0; iTime < m_ct.m_iSize; iTime++){if ((iRegion < m_ct.RegionFirstTime().size()) && (m_ct.RegionFirstTime()[iRegion] == iTime)){iRegion++;}m_vNodeToRegion[m_vTimeToNode[iTime]] = (iRegion - 1);}}bool Connect(int src, int dest, int iCut)const{if (m_vNodeToRegion[src] != m_vNodeToRegion[dest]){return false;//不在一个连通区域}if (0 == m_ct.NewRegion()[iCut].size()){//不是割点return true;}const int r1 = GetCutRegion(iCut, src);const int r2 = GetCutRegion(iCut, dest);return r1 == r2;}vector<vector<int>> GetSubRegionOfCut(const int iCut)const{//删除iCut及和它相连的边后，iCut所在的区域会分成几个区域：父节点一个区域、各子节点		一个区域//父节点所在区域可能为空，如果iCut所在的连通区域只有一个节点，则返回一个没有节点的			区域。const auto& v = m_ct.NewRegion()[iCut];vector<int> vParen;const int iRegion = m_vNodeToRegion[iCut];const int iEndTime = (iRegion + 1 == m_ct.RegionFirstTime().size()) ? m_ct.m_iSize : m_ct.RegionFirstTime()[iRegion+1];vector<vector<int>> vRet;	for (int iTime = m_ct.RegionFirstTime()[iRegion],j=-1; iTime < iEndTime; iTime++){if (iCut == m_vTimeToNode[iTime]){continue;}if ((j + 1 < v.size()) && (v[j + 1].first == iTime)){j++;vRet.emplace_back();}const int iNode = m_vTimeToNode[iTime];if ((-1 != j ) && (iTime >= v[j].first) && (iTime < v[j].second)){vRet.back().emplace_back(iNode);}else{vParen.emplace_back(iNode);}			}vRet.emplace_back();vRet.back().swap(vParen);return vRet;}	
protected:int GetCutRegion(int iCut, int iNode)const{const auto& v = m_ct.NewRegion()[iCut];auto it = std::upper_bound(v.begin(), v.end(), m_ct.Time()[iNode], [](int time, const std::pair<int, int>& pr) {return  time < pr.first; });if (v.begin() == it){return v.size();}--it;return (it->second > m_ct.Time()[iNode]) ? (it - v.begin()) : v.size();}vector<int> m_vTimeToNode;vector<int> m_vNodeToRegion;//各节点所在区域const CCutPoint m_ct;
};class CPointBitConnect :public CCutPoint
{//点双连通区域
public:CPointBitConnect(const vector<vector<int>>& vNeiB):CCutPoint(vNeiB){}stack<int> m_staNodes;vector<vector<int>> m_vBitConnect;
protected:virtual void OnNewRegion(int cur, int next) override {m_vBitConnect.emplace_back();while (true){const int t = m_staNodes.top();m_staNodes.pop();m_vBitConnect.back().emplace_back(t);if (t == next){break;}}m_vBitConnect.back().emplace_back(cur);};virtual void OnBeginDFS(int cur)override {m_staNodes.emplace(cur);};
};class Solution {
public:long long minimumCost(vector<int>& cost, vector<vector<int>>& roads) {m_c = cost.size();if (1 == m_c){return cost[0];}auto neiBo = CNeiBo::Two(m_c, roads, false);CPointBitConnect pbc(neiBo);pbc.Init(neiBo);if (1 == pbc.m_vBitConnect.size()){return *std::min_element(cost.begin(), cost.end());}long long ans = 0;int iMax = 0;vector<bool> vCut = pbc.Cut();for (auto& v : pbc.m_vBitConnect){int iCutCount = 0;int iCurMin = INT_MAX;for (const auto& iNode : v){iCutCount += vCut[iNode];if (!vCut[iNode]){iCurMin = min(iCurMin, cost[iNode]);}}if (1 == iCutCount){iMax = max(iMax, iCurMin);ans += iCurMin;}}return ans - iMax;}int m_c;
};

测试用例

template<class T, class T2>
void Assert(const T& t1, const T2& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}int main()
{vector<int> cost;vector<vector<int>> roads;{Solution sln;cost = { 3,2,1,4 }, roads = { {0,2},{2,3},{3,1} };auto res = sln.minimumCost(cost, roads);Assert(2, res);}{Solution sln;cost = { 1,2,3,4,5,6 }, roads = { {0,1},{0,2},{1,3},{2,3},{1,2},{2,4},{2,5} };auto res = sln.minimumCost(cost, roads);Assert(6, res);}}

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快

速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

相关下载

想高屋建瓴的学习算法，请下载《喜缺全书算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。