高代解题系列二：矩阵

零、经典你不会的题

1.求解：
$$\left[\begin{array}{cccc}1+a& 1& ...& 1\\ 2& 2+a& ...& 2\\ ...& ...& ...& ...\\ n& n& ...& n+a\end{array}\right]$$

A到B，用的是第j行减去j×第一行

第二个矩阵到第三个矩阵，用的是第一行减去第二行开始的所有行

2.证明：不存在n阶矩阵A，B，使得AB-BA=E。
方法一：证明主对角线上的元素之和不一致：

方法二：用迹的相关性质来证明，现在还没学，先挖个坑吧

3.A为mn矩阵,B为nm矩阵,E为m阶单位矩阵.AB=E，求rank(A)和rank(B)
解：rank(AB)<=min(rank(A),rank(B))
所以rank(A)>=m
而A为m*n矩阵，所以有rank(A)<=min(m,n),即rank(A)必小于等于m，所以rank(A)=m,同理rank(B)=m
(可能会有疑问，如果n<m时，是不是就违反rank(A)<=min(m,n)这条铁律了？其实如果n<m，那必不可能相乘得到一个秩更大的矩阵，所以这里还隐含了一点：n>=m)

4.求W1+W2的维数及一组基

一、矩阵的逆

写在前面：
1.证明某个矩阵可逆，只要构造它的AA^-1=E，并找到这个A^-1即可
2.万能公式：AA*=E·detA

1.A是方阵，A^k对某个正整数k成立，求证以下方阵可逆，并求它们的逆

第3题，关键是构建A+E的子式，如下：

一道类似题目如下：

3.反证法
A 是n阶方阵，求证：若A2=E，且A！=E，则A+E不可逆

4.给出A*的内容，求A。
1）首先根据det(A*)=(detA)^n-1求出detA
2）然后根据A*=A^-1detA求出A^-1
3）最后根据A^-1求出A
总结起来就是三步两公式：求detA,求A^-1，求A

5.已知矩阵A和B，求证，若E-AB可逆，则E-BA也可逆，并求出（E-BA）^-1


6.

二、直和

写在前面：
1）直和，描述的是集合的和的性质，所以它的对象是集合的和
1.证明
这个题实际上包含两层意思，1是V1及V2的和V1+V2是直和，2是V=V1+V2。证明1不需要证明存在唯一分解式，而是需要证明V1V2的交集只有零向量，即互相垂直；证明2则只需要证明dim(V1)+dim(V2)=dim(V)

第四章 矩阵

4.3矩阵乘法与线性变换

1.证明这个东西：

第五章 欧氏空间

5.1 内积

2.证明一个向量α为0向量，只需要证它的模长的平方（α，α）=0即可

5.2 正交化

5.5子空间

1.求解子空间的维数：
方法是证明V1是L（β1，…，β_n-1）的子集，然后证明L（β1，…，β_n-1）是V1的子集就可以了


2.关于正交补：要证V1+V2=V，只要证dim(V1)+dim(V2)=dim(V)

5.7相似矩阵

1.举个反例证明特征多项式相等的矩阵不一定相似：
A=
$$\left\{\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right\}$$
B=
$$\left\{\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right\}$$
此时若要A~B，应有P^-1BP=A,即A=B，不符